Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

208 Теория определителей Гл. 4
от наборов из n таких векторов. (Заметьте, что номера векторов-
строк мы размещаем как верхние индексы.) Все данные выше опре-
деления (и следствия из них) переносятся на этот случай без каких-
либо изменений.
Оба типа векторов и функций возникают, если рассматривать
множество L(n, R) квадратных матриц порядка n и определенные
на этом множестве функции
f : L(n, R) −→ R; A 7→ f(A); A ∈ L(n, R). (24.6)
Всякую функцию (24.6) можно представить как функцию (24.1),
если матрицу A представить разбитой на векторы-столбцы:
A = (¯a
1
|
¯
a
2
|... |
¯
a
n
)
, (24.7)
а можно — как функцию (24.1t), если разбить матрицу A на векторы-
строки:
A =
(¯a
1
)
t
(¯a
2
)
t
···
(¯a
n
)
t
. (24.7t)
В частности, определенную в предыдущем параграфе функцию
(23.4), сопоставляющую квадратной матрице ее определитель, мож-
но рассматривать еще двумя способами: как функцию от набора
столбцов и как функцию от набора строк этой матрицы.
24.2. Полилинейность и антисимметричность функции
A 7−→ det(A)
Теорема 24.1. Функция (23.4) является полилинейной и анти-
симметрической функцией столбцов (строк) матрицы.
Доказательство. Строки и столбцы определителя равноправны
(см. замечание 23.3). Поэтому теорему достаточно доказать, скажем,
в отношении столбцов, и тогда можно будет утверждать, что она
справедлива и в отношении строк.
Доказательство для столбцов состоит в проверке свойств (24.2) —
(24.4), которые для функции f = det приобретают вид
det(¯a
1
|...|¯a
0
j
+ ¯a
00
j
|...|¯a
n
) =
= det(¯a
1
|...|¯a
0
j
|...|¯a
n
) + det(¯a
1
|...|¯a
00
j
|...|¯a
n
); (24.8)
208                            Теория определителей                                           Гл. 4

от наборов из n таких векторов. (Заметьте, что номера векторов-
строк мы размещаем как верхние индексы.) Все данные выше опре-
деления (и следствия из них) переносятся на этот случай без каких-
либо изменений.
  Оба типа векторов и функций возникают, если рассматривать
множество L(n, R) квадратных матриц порядка n и определенные
на этом множестве функции

                  f : L(n, R) −→ R; A 7→ f (A); A ∈ L(n, R).                                  (24.6)
   Всякую функцию (24.6) можно представить как функцию (24.1),
если матрицу A представить разбитой на векторы-столбцы:
                                   A = (ā1 |ā2 |... |ān ) ,                                (24.7)
а можно — как функцию (24.1t), если разбить матрицу A на векторы-
строки:
                                       
                                (ā1 )t
                                       
                                  2 t  
                            (ā )      
                                       
                     A=                .                 (24.7t)
                                       
                                ···    
                                       
                               (ān )t
   В частности, определенную в предыдущем параграфе функцию
(23.4), сопоставляющую квадратной матрице ее определитель, мож-
но рассматривать еще двумя способами: как функцию от набора
столбцов и как функцию от набора строк этой матрицы.
  24.2. Полилинейность и антисимметричность функции
A 7−→ det(A)
  Теорема 24.1. Функция (23.4) является полилинейной и анти-
симметрической функцией столбцов (строк) матрицы.
   Доказательство. Строки и столбцы определителя равноправны
(см. замечание 23.3). Поэтому теорему достаточно доказать, скажем,
в отношении столбцов, и тогда можно будет утверждать, что она
справедлива и в отношении строк.
   Доказательство для столбцов состоит в проверке свойств (24.2) —
(24.4), которые для функции f = det приобретают вид
  det(ā1 |...|ā0j + ā00j |...|ān ) =
                            = det(ā1 |...|ā0j |...|ān ) + det(ā1 |...|ā00j |...|ān );   (24.8)

Страницы