Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 24 Полилинейность и антисимметричность определителя 209
det(¯a
1
|...|λ¯a
j
|...|¯a
n
) = λ det(¯a
1
|...|¯a
j
|...|¯a
n
); (24.9)
det(¯a
1
|...|¯a
k
(j)
|...|¯a
j
(k)
|...|¯a
n
) = −det(¯a
1
|...|¯a
j
(j)
|...|¯a
k
(k )
|...|¯a
n
). (24.10)
Поскольку мы работаем со столбцами, то нам удобнее будет при-
менять вторую формулу для определителя [т. е. формулу (23.3t)].
Пусть матрица A задана формулой (24.7), т. е. разбита на столбцы,
и один из этих столбцов представлен в виде суммы двух столбцов:
¯a
j
= ¯a
0
j
+ ¯a
00
j
(24.11)
— или в координатах:
a
ij
= a
0
ij
+ a
00
ij
(24.11a)
для любого i = 1, ..., n.
Введем матрицы:
A
0
= (¯a
1
|...
¯
¯
¯
a
0
j
|... |
¯
a
n
) ;
A
00
= (¯a
1
|...
¯
¯
¯
a
00
j
|... |
¯
a
n
)
.
Равенство (24.8) в этих обозначениях принимает вид
det(A) = det(A
0
) + det(A
00
). (24.8a)
Докажем его:
det(A)
(23.3t)
=
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
σ(1) 1
...a
σ(j) j
...a
σ(n) n
=
(24.11a)
=
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
σ(1) 1
...(a
0
σ(j) j
+ a
00
σ(j) j
)...a
σ(n) n
=
=
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
σ(1) 1
...a
0
σ(j) j
...a
σ(n) n
+
+
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
σ(1) 1
...a
00
σ(j) j
...a
σ(n) n
=
(23.3t)
= det(A
0
) + det(A
00
).
Аналогично, но несколько проще доказывается формула (24.9).
[Проведите вычисления сами. Можно порекомендовать свести (24.9)
к формуле det(A
0
) = λ det(A), где матрица A
0
отличается от A одним
столбцом: ¯a
0
j
= λ¯a
j
.]
§ 24   Полилинейность и антисимметричность определителя                                    209

                    det(ā1 |...|λāj |...|ān ) = λ det(ā1 |...|āj |...|ān );         (24.9)
       det(ā1 |...|āk |...|āj |...|ān ) = − det(ā1 |...|āj |...|āk |...|ān ).    (24.10)
                    (j)      (k)                               (j)     (k)

   Поскольку мы работаем со столбцами, то нам удобнее будет при-
менять вторую формулу для определителя [т. е. формулу (23.3t)].
   Пусть матрица A задана формулой (24.7), т. е. разбита на столбцы,
и один из этих столбцов представлен в виде суммы двух столбцов:

                                         āj = ā0j + ā00j                              (24.11)

— или в координатах:
                                        aij = a0ij + a00ij                              (24.11a)
для любого i = 1, ..., n.
  Введем матрицы:
                             ¯                                   ¯
              A0 = (ā1 |... ¯ā0j |... |ān ) ; A00 = (ā1 |... ¯ā00j |... |ān ) .

   Равенство (24.8) в этих обозначениях принимает вид

                              det(A) = det(A0 ) + det(A00 ).                             (24.8a)

   Докажем его:

             (23.3t)   X
  det(A)        =             sgn(σ)aσ(1) 1 ...aσ(j) j ...aσ(n) n =
                       σ∈Sn
            (24.11a)    X
                =             sgn(σ)aσ(1) 1 ...(a0σ(j) j + a00σ(j) j )...aσ(n) n =
                       σ∈Sn
                            X
                        =          sgn(σ)aσ(1) 1 ...a0σ(j) j ...aσ(n) n +
                            σ∈Sn
                            X
                       +           sgn(σ)aσ(1) 1 ...a00σ(j) j ...aσ(n) n =
                            σ∈Sn
                                      (23.3t)
                                        =       det(A0 ) + det(A00 ).

   Аналогично, но несколько проще доказывается формула (24.9).
[Проведите вычисления сами. Можно порекомендовать свести (24.9)
к формуле det(A0 ) = λ det(A), где матрица A0 отличается от A одним
столбцом: ā0j = λāj .]

Страницы