Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 211 стр.

§ 24   Полилинейность и антисимметричность определителя      211

   Замечание 24.4. Термин полилинейность в рассмотренной выше
ситуации может быть уточнен (конкретизирован): речь идет о n-ли-
нейных функциях. (Может быть, вы помните, что при изучении
матричной алгебры — см. п. 2.3 — уже использовался термин били-
нейность.)
   Предостережем от возможных иллюзий: полилинейность отнюдь
не влечет линейность. (Скажем, определитель суммы двух матриц,
за исключением тривиальных случаев, не равен сумме определите-
лей.)
   Свойство определителя (24.8) (и аналогичное утверждение для
строк) иногда читают так: общий скалярный множитель из столб-
ца (строки) определителя можно выносить за знак определителя.
   Если общий множитель λ имеется у всех элементов определителя
(порядка n), то за знак определителя выносится λn .
  Замечание 24.5. Наряду с антисимметрическими (они еще назы-
ваются кососимметрическими) функциями важную роль играют в
алгебре симметрические функции. Имеется симметрический аналог
определителя, называемый перманентом.
  24.3. Следствия из свойств полилинейности и антисим-
метричности определителя. Из двух основных свойств опреде-
лителя, доказанных в теореме 24.1, и из предложения 23.2 вытекает
целый ряд других свойств.
   Предложение 24.1. Функция det(A) обладает следующими
свойствами:
   (1) Если в матрице A имеется нулевой столбец (нулевая строка),
то det(A) = 0.
   (2) Если в матрице A имеются два одинаковых (пропорциональ-
ных) столбца [ две одинаковых (пропорциональных) строки ], то
det(A) = 0.
   (3) Определитель матрицы не изменится, если матрицу подверг-
нуть элементарным преобразованиям второго типа над столбцами
(над строками).
   (4) Для любой квадратной матрицы A и любого скаляра λ спра-
ведлива формула

                det(λA) = λn det(A); A ∈ L(n, R).         (24.14)