Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 213 стр.

§ 25      Разложение определителя по столбцу (строке)                 213

   Можно ли применять преобразования типа I (перестановку строк
или столбцов) при вычислении определителей? Да, но с непремен-
ным учетом антисимметричности: при перестановке строк (столб-
цов) надо менять знак определителя на противоположный.
   Элементарные преобразования типа II (как над строками, так и
над столбцами) применимы безоговорочно [см. выше свойство (3) в
предложении 24.1].
   Преобразования типа III выступают теперь в форме вынесения за
знак определителя общего множителя из строки (столбца) (см. за-
мечание 24.4; лишний раз подчеркнем, что общий множитель можно
вынести, но не выбросить).
   С помощью описанных выше версий элементарных преобразова-
ний квадратную матрицу следует привести к треугольному виду, а
затем вычислить последний определитель как произведение диаго-
нальных элементов (см. предложение 24.1), не забыв при этом про
возможно набежавший перед знаком определителя скалярный мно-
житель.
   Пример 24.1.
         ¯        ¯                ¯         ¯
         ¯ 5 6 13 ¯                ¯ 1 2 3 ¯ стр стр
         ¯        ¯ стр стр        ¯         ¯ 2 +1 ·(−3)
         ¯ 3 4 5 ¯ =1===↔3
                         =  ==== − ¯3 4 5 ¯ =   =====   =====
         ¯        ¯                ¯         ¯ 3стр +1 стр ·(−5)
         ¯1 2 3 ¯                  ¯ 5 6 13 ¯
          ¯          ¯                   ¯          ¯
          ¯1 2    3 ¯¯                   ¯          ¯
          ¯                              ¯ 1 2 3 ¯ 3стр +2стр ·(−2)
     = − ¯¯ 0 −2 −4 ¯¯ = −(−2) · (−2) · ¯¯ 0 1 2 ¯¯ ===========
          ¯ 0 −4 −2 ¯                    ¯0 2 1¯
                          ¯           ¯
                          ¯1 2 3 ¯
                          ¯           ¯
                = (−4) · ¯¯ 0 1 2 ¯¯ = 12.
                          ¯ 0 0 −3 ¯




       § 25. Вычисление определителя с помощью
             разложения по столбцу (строке)
  25.1. Алгебраические дополнения к элементам квадрат-
ной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу A размера n × n.
Выберем какой-либо элемент aij из этой матрицы.
  Определение 25.1. Алгебраическим дополнением к элементу aij
матрицы A называется скаляр Aij , равный взятому со знаком