Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 24 Полилинейность и антисимметричность определителя 207
Определение 24.2. Функция (24.1) называется антисимметри-
ческой, если она меняет знак при перестановке любых двух своих ар-
гументов, т. е. если для любых двух различных номеров j , k = 1, ..., n
(j 6= k) и для любых значений участвующих в формуле векторов
справедливо свойство
f(¯a
1
, . . . , ¯a
k
(j)
, . . . , ¯a
j
(k)
, . . . , ¯a
n
) = −f(¯a
1
, . . . , ¯a
j
(j)
, . . . , ¯a
k
(k)
, . . . , ¯a
n
). (24.4)
Замечание 24.2. Из антисимметричности функции следует, что
если какие-либо два из аргументов функции принимают одинаковые
значения, то значение функции равно нулю.
В самом деле, пусть ¯a
j
= ¯a
k
(j 6= k). Тогда, с одной стороны,
при перестановке этих векторов значение функции не изменится, а
с другой стороны, оно должно изменить знак, что возможно лишь в
случае, когда значение равно нулю.
Замечание 24.3. Обратим внимание на то, что в определении ан-
тисимметрической функции фактически фигурируют транспозиции
аргументов (или их номеров). Каждая такая транспозиция меняет
знак значения функции на противоположный.
Можно рассмотреть произвольную перестановку σ ∈ S
n
и значе-
ние функции f(¯a
σ(1)
, ¯a
σ(2)
, . . . , ¯a
σ(n)
) на наборе векторов, полученном
из исходного набора с помощью перестановки σ.
Каждую перестановку можно разложить в произведение транспо-
зиций (см. предложение 19.2); пусть, скажем, имеется разложение σ
в произведение p транспозиций. Действие каждой из них на аргу-
менты фунции изменяет знак значения функции. В итоге набежит
множитель (−1)
p
, равный (см. определение 20.1) знаку sgn(σ).
Тем самым справедливо следующее свойство антисимметрических
функций:
f(¯a
σ(1)
, ¯a
σ(2)
, . . . , ¯a
σ(n)
) = sgn(σ)f (¯a
1
, ¯a
2
, . . . , ¯a
n
). (24.5)
Выше рассматривались векторы-столбцы из пространства R
n
, их
наборы и функции от наборов из n векторов-столбцов. Разумеется,
совершенно аналогичным образом можно рассматривать векторы-
строки из пространства
∗
R
n
(см. замечание 2.2) и функции
f :
∗
R
n
×
∗
R
n
× ··· ×
∗
R
n
| {z }
n раз
−→ R;
((¯a
1
)
t
, (¯a
2
)
t
, . . . , (¯a
n
)
t
) 7→ f ((¯a
1
)
t
, (¯a
2
)
t
, . . . , (¯a
n
)
t
) (24.1t)
§ 24    Полилинейность и антисимметричность определителя                                                       207

   Определение 24.2. Функция (24.1) называется антисимметри-
ческой, если она меняет знак при перестановке любых двух своих ар-
гументов, т. е. если для любых двух различных номеров j, k = 1, ..., n
(j 6= k) и для любых значений участвующих в формуле векторов
справедливо свойство
  f (ā1 , . . . , āk , . . . , āj , . . . , ān ) = −f (ā1 , . . . , āj , . . . , āk , . . . , ān ).   (24.4)
                  (j)          (k)                                        (j)          (k)


   Замечание 24.2. Из антисимметричности функции следует, что
если какие-либо два из аргументов функции принимают одинаковые
значения, то значение функции равно нулю.
   В самом деле, пусть āj = āk (j 6= k). Тогда, с одной стороны,
при перестановке этих векторов значение функции не изменится, а
с другой стороны, оно должно изменить знак, что возможно лишь в
случае, когда значение равно нулю.
   Замечание 24.3. Обратим внимание на то, что в определении ан-
тисимметрической функции фактически фигурируют транспозиции
аргументов (или их номеров). Каждая такая транспозиция меняет
знак значения функции на противоположный.
   Можно рассмотреть произвольную перестановку σ ∈ Sn и значе-
ние функции f (āσ(1) , āσ(2) , . . . , āσ(n) ) на наборе векторов, полученном
из исходного набора с помощью перестановки σ.
   Каждую перестановку можно разложить в произведение транспо-
зиций (см. предложение 19.2); пусть, скажем, имеется разложение σ
в произведение p транспозиций. Действие каждой из них на аргу-
менты фунции изменяет знак значения функции. В итоге набежит
множитель (−1)p , равный (см. определение 20.1) знаку sgn(σ).
   Тем самым справедливо следующее свойство антисимметрических
функций:
            f (āσ(1) , āσ(2) , . . . , āσ(n) ) = sgn(σ)f (ā1 , ā2 , . . . , ān ).                       (24.5)

   Выше рассматривались векторы-столбцы из пространства Rn , их
наборы и функции от наборов из n векторов-столбцов. Разумеется,
совершенно аналогичным образом можно рассматривать векторы-
                                          ∗
строки из пространства Rn (см. замечание 2.2) и функции
        ∗        ∗                   ∗
  f : Rn × Rn × · · · × Rn −→ R;
      |       {z         }
                     n раз

                   ((ā1 )t , (ā2 )t , . . . , (ān )t ) 7→ f ((ā1 )t , (ā2 )t , . . . , (ān )t ) (24.1t)

Страницы