Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

206 Теория определителей Гл. 4
§
§
§ 24. Определитель квадратной матрицы
как полилинейная и антисимметрическая
функция ее столбцов (строк)
24.1. Функции от векторов-столбцов (векторов-строк)
квадратной матрицы. Скалярная функция от n-мерного векто-
ра есть отображение f : R
n
−→ R, обладающее свойствами
1) f (¯a +
¯
b) = f(¯a) + f(
¯
b); 2) f(λ¯a) = λf(¯a)
для любых векторов ¯a,
¯
b ∈ R
n
и любого скаляра λ ∈ R. (Это —
не новое определение, а частный случай общего понятия линейного
отображения; см. определение 15.1.)
Рассмотрим теперь функцию от n штук n-мерных векторов, т. е.
отображение
f : R
n
× R
n
× ··· × R
n
| {z }
n раз
−→ R;
(¯a
1
, ¯a
2
, . . . , ¯a
n
) 7→ f(¯a
1
, ¯a
2
, . . . , ¯a
n
), (24.1)
сопоставляющее каждому набору из n векторов (¯a
1
, ¯a
2
, . . . , ¯a
n
) опре-
деленный скаляр f(¯a
1
, ¯a
2
, . . . , ¯a
n
).
Определение 24.1. Функция (24.1) называется полилинейной,
если она линейна по каждому из своих аргументов (при фиксиро-
ванных остальных), т. е. если для любого номера j = 1, ..., n (и
для любых значений участвующих в формулах векторов и скаля-
ров) справедливы свойства:
f(¯a
1
, . . . , ¯a
0
j
+ ¯a
00
j
, . . . , ¯a
n
) =
= f(¯a
1
, . . . ,
¯
a
0
j
, . . . ,
¯
a
n
) + f(¯a
1
, . . . ,
¯
a
00
j
, . . . ,
¯
a
n
); (24.2)
f(¯a
1
, . . . , λ
¯
a
j
, . . . ,
¯
a
n
) = λf(¯a
1
, . . . ,
¯
a
j
, . . . ,
¯
a
n
). (24.3)
Замечание 24.1. Из полилинейности функции [точнее, из (24.3)]
следует, что если какой-либо из аргументов функции принимает ну-
левое значение (равен нулевому вектору), то и значение функции
равно нулю.
206                                 Теория определителей                                                      Гл. 4

         § 24. Определитель квадратной матрицы
        как полилинейная и антисимметрическая
              функция ее столбцов (строк)

  24.1. Функции от векторов-столбцов (векторов-строк)
квадратной матрицы. Скалярная функция от n-мерного векто-
ра есть отображение f : Rn −→ R, обладающее свойствами

                    1) f (ā + b̄) = f (ā) + f (b̄); 2) f (λā) = λf (ā)

для любых векторов ā, b̄ ∈ Rn и любого скаляра λ ∈ R. (Это —
не новое определение, а частный случай общего понятия линейного
отображения; см. определение 15.1.)
   Рассмотрим теперь функцию от n штук n-мерных векторов, т. е.
отображение

  f : Rn × Rn × · · · × Rn −→ R;
      |       {z         }
                    n раз
                                             (ā1 , ā2 , . . . , ān ) 7→ f (ā1 , ā2 , . . . , ān ),      (24.1)

сопоставляющее каждому набору из n векторов (ā1 , ā2 , . . . , ān ) опре-
деленный скаляр f (ā1 , ā2 , . . . , ān ).

   Определение 24.1. Функция (24.1) называется полилинейной,
если она линейна по каждому из своих аргументов (при фиксиро-
ванных остальных), т. е. если для любого номера j = 1, ..., n (и
для любых значений участвующих в формулах векторов и скаля-
ров) справедливы свойства:

  f (ā1 , . . . , ā0j + ā00j , . . . , ān ) =
                          = f (ā1 , . . . , ā0j , . . . , ān ) + f (ā1 , . . . , ā00j , . . . , ān );   (24.2)

                   f (ā1 , . . . , λāj , . . . , ān ) = λf (ā1 , . . . , āj , . . . , ān ).             (24.3)

  Замечание 24.1. Из полилинейности функции [точнее, из (24.3)]
следует, что если какой-либо из аргументов функции принимает ну-
левое значение (равен нулевому вектору), то и значение функции
равно нулю.

Страницы