Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 204 стр.

204                    Теория определителей                       Гл. 4

  Предложение 23.1. Определитель верхней (нижней) треуголь-
ной, в частности диагональной, матрицы равен произведению диаго-
нальных элементов. Определитель скалярной матрицы (порядка n)

                              det(λE) = λn .                      (23.7)


   Доказательство. Пусть, для определенности, рассматривается
верхняя треугольная матрица. (Доказательство для случая ниж-
них треугольных матриц отличается лишь "направлением движе-
ния": "сверху вниз" вместо "снизу вверх".)
   Каждый член определителя отвечает некоторой перестановке σ
степени n и является произведением вида (23.2).
   Для того чтобы это произведение могло быть отличным от ну-
ля, необходимо, чтобы из последней строки выбирался последний
элемент, т. е. чтобы σ(n) = n. Если это так, то последний стол-
бец уже "занят", и снова, для того чтобы произведение могло быть
ненулевым, необходимо, чтобы из предпоследней строки выбирался
предпоследний (диагональный) элемент, т. е. должно выполняться
σ(n − 1) = n − 1; и т. д. Из второй строки будет выбираться элемент
a22 , из первой — элемент a11 .
   Получается, что ненулевым может быть лишь член определите-
ля, отвечающий тождественной перестановке σ = ε. Окончательная
формула (справедливая для обоих типов треугольных и, в частно-
сти, для диагональных матриц):

               det(A) = a11 · a22 · . . . · a(n−1)(n−1) · ann .   (23.8)

  Формула (23.7) вытекает из (23.8). ¤
   23.4. Определитель транспонированной матрицы. Одним
из основных свойств определителя является то, что он не меняется
при транспонировании матрицы.
  Предложение 23.2. Для любой квадратной матрицы A (разме-
ра n × n)
                    det(At ) = det(A).               (23.9)


  Доказательство. Пусть B = At . По определению транспониро-
ванной матрицы [см. (2.1)], bij = aji (i, j = 1, ..., n). По определению
определителя,