Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

202 Теория определителей Гл. 4
det( E
n×n
) = 1. (23.6)
Свойство (23.5) пояснений не требует, а свойство (23.6) — требует:
надо понять, что для A = E в сумме (23.3) все члены обращаются в
0, кроме одного, соответствующего σ = ε члена: a
11
·a
22
·. . .·a
nn
= 1.
Подобная ситуация будет иметь место и в более общем случае,
рассматриваемом в п. 23.3.
23.2. Определители малых порядков. Рассмотрим опреде-
лители первого, второго и третьего порядков (хорошо уже вам зна-
комые). Как они получаются исходя из общего определения 23.1?
Обратимся еще раз к примерам 16.2 и 20.2 со списками всех пере-
становок малой степени.
Квадратная матрица размера 1 ×1 содержит всего один элемент:
A = ( a
11
) .
И группа перестановок S
1
содержит всего один элемент — тож-
дественную перестановку. Сумма (23.3) сводится к единственному
слагаемому, совпадающему с единственным элементом матрицы:
det(A) = a
11
.
В этом тривиальном случае одно из двух обозначений определи-
теля (использующее "палочки") малопригодно (ввиду неизбежной
путаницы со знаком модуля).
Возьмем теперь квадратную матрицу размера 2 × 2:
A =
µ
a
11
a
12
a
21
a
22
.
Группа S
2
содержит два элемента; сумма (23.3) включает два сла-
гаемых:
det(A) =
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Рассмотрим (3 × 3)-матрицу
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
.
202                    Теория определителей                         Гл. 4

                              det( E ) = 1.                         (23.6)
                                     n×n

   Свойство (23.5) пояснений не требует, а свойство (23.6) — требует:
надо понять, что для A = E в сумме (23.3) все члены обращаются в
0, кроме одного, соответствующего σ = ε члена: a11 · a22 · . . . · ann = 1.
   Подобная ситуация будет иметь место и в более общем случае,
рассматриваемом в п. 23.3.
   23.2. Определители малых порядков. Рассмотрим опреде-
лители первого, второго и третьего порядков (хорошо уже вам зна-
комые). Как они получаются исходя из общего определения 23.1?
   Обратимся еще раз к примерам 16.2 и 20.2 со списками всех пере-
становок малой степени.
   Квадратная матрица размера 1 × 1 содержит всего один элемент:

                               A = ( a11 ) .

  И группа перестановок S1 содержит всего один элемент — тож-
дественную перестановку. Сумма (23.3) сводится к единственному
слагаемому, совпадающему с единственным элементом матрицы:

                              det(A) = a11 .
  В этом тривиальном случае одно из двух обозначений определи-
теля (использующее "палочки") малопригодно (ввиду неизбежной
путаницы со знаком модуля).
  Возьмем теперь квадратную матрицу размера 2 × 2:
                                 µ               ¶
                                     a11   a12
                           A=                        .
                                     a21   a22

   Группа S2 содержит два элемента; сумма (23.3) включает два сла-
гаемых:                  ¯         ¯
                         ¯ a11 a12 ¯
               det(A) = ¯¯         ¯ = a11 a22 − a12 a21 .
                           a21 a22 ¯

  Рассмотрим (3 × 3)-матрицу
                                                
                              a11      a12   a13
                        A =  a21      a22   a23  .
                              a31      a32   a33

Страницы