Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

200 Теория определителей Гл. 4
Пусть, например, матрица A имеет порядок 5:
A =
a
11
a
12
a
13
a
14
a
15
a
21
a
22
a
23
a
24
a
25
a
31
a
32
a
33
a
34
a
35
a
41
a
42
a
43
a
44
a
45
a
51
a
52
a
53
a
54
a
55
.
Рассмотрим — также для примера — перестановку
σ =
µ
1 2 3 4 5
4 3 2 5 1
.
Знак этой перестановки (см. § 20) sgn(σ) = −1.
Пометим в матрице A элементы, отвечающие перестановке σ:
A =
a
11
a
12
a
13
a
14
a
15
a
21
a
22
a
23
a
24
a
25
a
31
a
32
a
33
a
34
a
35
a
41
a
42
a
43
a
44
a
45
a
51
a
52
a
53
a
54
a
55
;
и образуем соответствующий член определителя:
(−1) · a
14
· a
23
· a
32
· a
45
· a
51
.
Всего определитель будет содержать 5! = 120 членов такого вида.
В частности, тождественной перестановке ε ∈ S
5
будет соответство-
вать произведение
a
11
· a
22
· a
33
· a
44
· a
55
.
Определение 23.1a. Определителем (детерминантом) матри-
цы A называется действительное число, обозначаемое det(A) или |A|,
равное сумме n! слагаемых, каждое из которых
1) отвечает некоторой перестановке σ [вида (23.1)];
2) является произведением [вида (23.2)], составленным из n эле-
ментов матрицы A.
Элементы произведения (23.2) берутся по одному из каждой стро-
ки матрицы A и по одному из каждого ее столбца [в строке с номером
i выбирается элемент из столбца с номером σ(i)].
Произведение (23.2) снабжается знаком, равным знаку sgn(σ) пе-
рестановки (23.1).
200                 Теория определителей                    Гл. 4

  Пусть, например, матрица A имеет порядок 5:
                                                 
                      a11   a12   a13   a14   a15
                     a21   a22   a23   a24   a25 
                                                 
                A =  a31   a32   a33   a34   a35  .
                                                 
                      a41   a42   a43   a44   a45
                      a51   a52   a53   a54   a55

  Рассмотрим — также для примера — перестановку
                       µ             ¶
                         1 2 3 4 5
                   σ=                  .
                         4 3 2 5 1

  Знак этой перестановки (см. § 20) sgn(σ) = −1.
  Пометим в матрице A элементы, отвечающие перестановке σ:
                                                  
                   a11    a12    a13    a14   a15
                 a21     a22    a23    a24   a25 
                                                  
                 a       a      a      a     a    
            A =  31        32     33     34    35  ;
                                                  
                 a41     a42    a43    a44   a45 
                   a51    a52    a53    a54   a55

и образуем соответствующий член определителя:

               (−1) · a14 · a23 · a32 · a45 · a51 .

  Всего определитель будет содержать 5! = 120 членов такого вида.
В частности, тождественной перестановке ε ∈ S5 будет соответство-
вать произведение
                     a11 · a22 · a33 · a44 · a55 .
   Определение 23.1a. Определителем (детерминантом) матри-
цы A называется действительное число, обозначаемое det(A) или |A|,
равное сумме n! слагаемых, каждое из которых
   1) отвечает некоторой перестановке σ [вида (23.1)];
   2) является произведением [вида (23.2)], составленным из n эле-
ментов матрицы A.
   Элементы произведения (23.2) берутся по одному из каждой стро-
ки матрицы A и по одному из каждого ее столбца [в строке с номером
i выбирается элемент из столбца с номером σ(i)].
   Произведение (23.2) снабжается знаком, равным знаку sgn(σ) пе-
рестановки (23.1).

Страницы