Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 201 стр.

§ 23                  Определение определителя                     201

   Формула для определителя:
                X
       det(A) =     sgn(σ) · a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n) .   (23.3)
                    σ∈Sn


   Замечание 23.1. Происхождение такого громоздкого определения
будет прокомментировано позже.
   Несколько слов о терминологии. Словосочетание "определение
определителя" может показаться досадной тавтологией. Но это не
совсем так, поскольку данная "тавтология" является всего лишь
следствием не очень удачной русификации.
   На самом же деле "определение" = definition, а "определитель" =
determinant. И "заимствованный" термин детерминант был бы,
возможно, лучшим вариантом, нежели привычный термин-перевод.
Однако приходится считаться с устоявшимися традициями.
   Уточним далее, что если говорится об элементах (строках или
столбцах) определителя, то имеются в виду элементы (строки или
столбцы) соответствующей квадратной матрицы.
   Стоит упомянуть также о том, что с первых занятий по курсу ана-
литической геометрии студенты-первокурсники знакомятся с опре-
делителями второго и третьего порядков, т. е. с определителями
для матриц размеров 2 × 2 и 3 × 3. (О матрицах при этом речь не
идет. Определители выступают лишь в роли удобных сокращений
для громоздких выражений.)
   Данное выше определение значительно глубже и сложнее утили-
тарных обозначений из элементарной аналитической геометрии. По-
этому мы предпочли отложить (фактически на полсеместра) знаком-
ство с алгебраической сущностью определителей.
   До сих пор мы обходились при решении систем линейных уравне-
ний и в других задачах методом Гаусса. (И он прекрасно справлял-
ся!) Но теперь пришло время разобрать другой подход.
   Замечание 23.2. Формула (23.3) определяет отображение

             det : L(n, R) −→ R; A 7→ det(A); A ∈ L(n, R).        (23.4)

  Свойства этого отображения будут изучаться в следующих пара-
графах. Но некоторые из них совершенно очевидны уже сейчас.
  Например:

                                det( O ) = 0;                     (23.5)
                                    n×n