Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 23 Определение определителя 203
Группа S
3
содержит 6 элементов (3 четные перестановки и 3 не-
четные); столько же слагаемых включает сумма (23.3); половина из
них снабжены знаком плюс, остальные — знаком минус:
det(A) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= a
11
a
22
a
33
− a
11
a
23
a
32
− a
12
a
21
a
33
+
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
13
a
22
a
21
.
Остается дать совет, которому вряд ли кто последует: выписать
полное разложение (все 24 члена) для определителя четвертого по-
рядка (см. перечисление перестановок степени 4 в примере 16.2).
Впрочем, можно поручить эту задачу Maple.
23.3. Определитель треугольной матрицы
Определение 23.2. Квадратная матрица называется верхней
(нижней) треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже
(выше) главной диагонали, равны нулю.
Общий вид верхней треугольной матрицы:
A =
a
11
a
12
a
13
··· a
1(n−1)
a
1n
0 a
22
a
23
··· a
2(n−1)
a
2n
0 0 a
33
··· a
3(n−1)
a
3n
··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0 0 ··· a
(n−1)(n−1)
a
(n−1)n
0 0 0 ··· 0 a
nn
.
Диагональная матрица
A =
a
11
0 ··· 0
0 a
22
··· 0
··· ··· ··· ···
0 0 ··· a
nn
относится как к верхним, так и к нижним треугольным. Частным
случаем диагональных являются скалярные матрицы:
A =
λ 0 ··· 0
0 λ ··· 0
··· ··· ··· ···
0 0 ··· λ
= λE.
§ 23                  Определение определителя                          203

  Группа S3 содержит 6 элементов (3 четные перестановки и 3 не-
четные); столько же слагаемых включает сумма (23.3); половина из
них снабжены знаком плюс, остальные — знаком минус:
            ¯                ¯
            ¯ a11 a12 a13 ¯
            ¯                ¯
  det(A) = ¯¯ a21 a22 a23 ¯¯ =
            ¯ a31 a32 a33 ¯
                 = a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 +
                                  + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a21 .
  Остается дать совет, которому вряд ли кто последует: выписать
полное разложение (все 24 члена) для определителя четвертого по-
рядка (см. перечисление перестановок степени 4 в примере 16.2).
  Впрочем, можно поручить эту задачу Maple.
   23.3. Определитель треугольной матрицы
  Определение 23.2. Квадратная матрица называется верхней
(нижней) треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже
(выше) главной диагонали, равны нулю.
   Общий вид верхней треугольной матрицы:
                                                               
             a11 a12 a13 · · ·    a1(n−1)               a1n
            0 a22 a23 · · ·      a2(n−1)               a2n     
                                                               
            0     0 a33 · · ·    a3(n−1)               a3n     
       A=                                                      .
           ··· ··· ··· ···         ···                 ···     
                                                               
              0    0    0 · · · a(n−1)(n−1)           a(n−1)n
              0    0    0 ···        0                  ann
   Диагональная матрица
                                                   
                          a11        0    ···    0
                         0         a22   ···    0 
                      A=                           
                          ···       ···   ···   ···
                           0         0    ···   ann
относится как к верхним, так и к нижним треугольным. Частным
случаем диагональных являются скалярные матрицы:
                                      
                       λ    0 ···    0
                     0     λ ···    0 
                A=                     = λE.
                      ··· ··· ··· ···
                       0    0 ···    λ

Страницы