Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 23 Определение определителя 205
det(B) =
X
σ∈S
n
sgn(σ)b
1σ(1)
b
2σ(2)
. . . b
nσ(n)
=
=
X
σ∈S
n
sgn(σ)a
σ(1) 1
a
σ(2) 2
. . . a
σ(n) n
=
=
X
σ∈S
n
sgn(σ
−1
)a
1σ
−1
(1)
a
2σ
−1
(2)
. . . a
nσ
−1
(n)
=
=
X
λ∈S
n
sgn(λ)a
1λ(1)
a
2λ(2)
. . . a
nλ(n)
= det(A).
Выше, в цепочке равенств, на предпоследнем шаге мы заметили,
что, в силу свойства знака (20.12), общий член второй суммы явля-
ется членом определителя матрицы A, отвечающим перестановке
σ
−1
=
µ
σ(1) σ(2) ··· σ(n)
1 2 ··· n
=
=
µ
1 2 ··· n
σ
−1
(1) σ
−1
(2) ··· σ
−1
(n)
.
(После того как мы расположили по порядку номера в верхней
строке двустрочной записи перестановки σ
−1
, нам пришлось пере-
ставить скалярные сомножители в произведении, что законно в силу
коммутативного закона для умножения скаляров.)
На последнем шаге мы произвели замену переменной суммиро-
вания: λ = σ
−1
, что также законно в силу того, что отображение
обращения является биекцией группы S
n
на себя (см. предложе-
ние 16.2). ¤
Замечание 23.3. Доказанное выше предложение можно понимать
как утверждение равноправия строк и столбцов в определителе: все,
что можно будет сказать о столбцах определителя, будет справедли-
во и в отношении его строк. В самом деле, при транспонировании
строки и столбцы меняются ролями, а определитель не изменяется.
Мы неоднократно будем пользоваться этим обстоятельством. В
частности, немедленно выпишем вторую формулу для вычисления
определителей, равносильную формуле (23.3):
det(A) =
X
σ∈S
n
sgn(σ) · a
σ(1) 1
· a
σ(2) 2
· . . . · a
σ(n) n
. (23.3t)
В отличие от формулы (23.3), в формуле (23.3t) сомножители упо-
рядочены так, что подряд идут номера столбцов, а номера строк
задаются перестановкой σ.
§ 23                  Определение определителя                                205
                     X
         det(B) =           sgn(σ)b1σ(1) b2σ(2) . . . bnσ(n) =
                     σ∈Sn
                     X
                 =          sgn(σ)aσ(1) 1 aσ(2) 2 . . . aσ(n) n =
                     σ∈Sn
                     X
                 =          sgn(σ −1 )a1σ−1 (1) a2σ−1 (2) . . . anσ−1 (n) =
                     σ∈Sn
                     X
                 =          sgn(λ)a1λ(1) a2λ(2) . . . anλ(n) = det(A).
                     λ∈Sn

   Выше, в цепочке равенств, на предпоследнем шаге мы заметили,
что, в силу свойства знака (20.12), общий член второй суммы явля-
ется членом определителя матрицы A, отвечающим перестановке
                     µ                           ¶
                       σ(1)    σ(2)   · · · σ(n)
              σ −1 =                               =
                         1      2     ···     n
                     µ                                  ¶
                           1        2       ···    n
                   =                                      .
                       σ −1 (1) σ −1 (2) · · · σ −1 (n)
   (После того как мы расположили по порядку номера в верхней
строке двустрочной записи перестановки σ −1 , нам пришлось пере-
ставить скалярные сомножители в произведении, что законно в силу
коммутативного закона для умножения скаляров.)
   На последнем шаге мы произвели замену переменной суммиро-
вания: λ = σ −1 , что также законно в силу того, что отображение
обращения является биекцией группы Sn на себя (см. предложе-
ние 16.2). ¤
   Замечание 23.3. Доказанное выше предложение можно понимать
как утверждение равноправия строк и столбцов в определителе: все,
что можно будет сказать о столбцах определителя, будет справедли-
во и в отношении его строк. В самом деле, при транспонировании
строки и столбцы меняются ролями, а определитель не изменяется.
   Мы неоднократно будем пользоваться этим обстоятельством. В
частности, немедленно выпишем вторую формулу для вычисления
определителей, равносильную формуле (23.3):
                X
       det(A) =     sgn(σ) · aσ(1) 1 · aσ(2) 2 · . . . · aσ(n) n . (23.3t)
                 σ∈Sn

  В отличие от формулы (23.3), в формуле (23.3t) сомножители упо-
рядочены так, что подряд идут номера столбцов, а номера строк
задаются перестановкой σ.

Страницы