Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 27 Определитель блочно-треугольной матрицы 225
Полилинейность f(C) доказана. Докажем антисимметричность.
Если в матрице C переставить два столбца, то и соответствую-
щие столбцы в матрице A переставятся. В силу антисимметричности
определителя, det(A) поменяет знак, а значит, поменяет знак и f (C).
Антисимметричность функции f(C) тоже доказана.
Вычислим значение f( E
l×l
), т. е. вычислим определитель
f(E) = det
B
m×m
D
l×m
¯
¯
¯
¯
¯
¯
O
m×l
E
l×l
. (27.5)
Определитель (27.4) является суммой n! слагаемых (n = m + l),
каждое из которых отвечает некоторой перестановке степени n
σ =
µ
1 ... m
σ(1) ... σ(m)
¯
¯
¯
¯
m + 1 ... n
σ(m + 1) ... σ(n)
. (27.6)
Однако если хотя бы для одного из номеров j = m + 1, ..., n бу-
дет σ(j) 6= j, то соответствующий член определителя обратится в
нуль. Поэтому в сумме можно оставить лишь m! членов, отвечаю-
щих перестановкам, тождественным в указанной зоне номеров, т. е.
имеющим вид:
σ =
µ
1 ... m
σ(1) ... σ(m)
¯
¯
¯
¯
m + 1 ... n
m + 1 ... n
. (27.7)
Перестановки такого вида однозначно определяются соответствую-
щими перестановками (степени m):
σ
0
=
µ
1 ... m
σ
0
(1) ... σ
0
(m)
; σ
0
(j) = σ(j); j = 1, ..., m. (27.8)
Поскольку все инверсии перестановки (27.7) сосредоточены в зоне
номеров j = 1, ..., m, то знак этой перестановки совпадает со знаком
перестановки (27.8).
Таким образом,
f(E)
(23.3t)
===
X
σ
0
∈S
m
a
σ
0
(1) 1
...a
σ
0
(m) m
a
(m+1)(m+1)
...a
nn
.
§ 27         Определитель блочно-треугольной матрицы                                     225

  Полилинейность f (C) доказана. Докажем антисимметричность.
  Если в матрице C переставить два столбца, то и соответствую-
щие столбцы в матрице A переставятся. В силу антисимметричности
определителя, det(A) поменяет знак, а значит, поменяет знак и f (C).
  Антисимметричность функции f (C) тоже доказана.
  Вычислим значение f ( E ), т. е. вычислим определитель
                                   l×l

                                                 ¯ 
                                                 
                                              B ¯¯ O
                                             m×m¯m×l
                                f (E) = det         .                                 (27.5)
                                              D ¯¯ E
                                             l×m l×l


  Определитель (27.4) является суммой n! слагаемых (n = m + l),
каждое из которых отвечает некоторой перестановке степени n
                    µ                            ¯                              ¶
                         1   ...          m      ¯ m+1          ...  n
             σ=                                  ¯                                  .   (27.6)
                        σ(1) ...         σ(m)    ¯ σ(m + 1)     ... σ(n)

  Однако если хотя бы для одного из номеров j = m + 1, ..., n бу-
дет σ(j) 6= j, то соответствующий член определителя обратится в
нуль. Поэтому в сумме можно оставить лишь m! членов, отвечаю-
щих перестановкам, тождественным в указанной зоне номеров, т. е.
имеющим вид:
                         µ                           ¯                  ¶
                              1   ...  m             ¯m + 1     ... n
                  σ=                                 ¯                      .           (27.7)
                             σ(1) ... σ(m)           ¯m + 1     ... n

Перестановки такого вида однозначно определяются соответствую-
щими перестановками (степени m):
             µ                            ¶
       0           1   ...   m
       σ =        0         0                 ; σ 0 (j) = σ(j); j = 1, ..., m.          (27.8)
                 σ (1) ... σ (m)

  Поскольку все инверсии перестановки (27.7) сосредоточены в зоне
номеров j = 1, ..., m, то знак этой перестановки совпадает со знаком
перестановки (27.8).
  Таким образом,

                   (23.3t)    X
           f (E) ===                   aσ0 (1) 1 ...aσ0 (m) m a(m+1)(m+1) ...ann .
                             σ 0 ∈Sm

Страницы