Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 227 стр.

§ 27        Определитель блочно-треугольной матрицы                    227

как функцию от столбцов матрицы B. Докажем, что эта функция
полилинейна и антисимметрична.
      Пусть b̄j (один из столбцов матрицы B) представлен в виде суммы
b̄j = b̄0j + b̄00j . Рассмотрим, как обычно, матрицы B 0 и B 00 , отличающи-
еся от B по j-му столбцу. (В первой из них, B 0 , вместо b̄j фигурирует
b̄0j ; и т. д.)
      В матрице A·B (в силу дистрибутивности матричного умножения;
см. теорему 2.1) j-й столбец тоже разобьется на два слагаемых:

                         A · b̄j = A · b̄0j + A · b̄00j ;

и так же, как и выше, можно будет рассмотреть две матрицы (от-
личающиеся от A · B по j-му столбцу), причем они будут, очевидно,
равняться A · B 0 и A · B 00 .
   В силу полилинейности определителя, будет иметь место равен-
ство
               det(A · B) = det(A · B 0 ) + det(A · B 00 ),
или для функции (27.12):

                         f (B) = f (B 0 ) + f (B 00 ).              (27.13)

   Если в столбце b̄j выделен общий скалярный множитель λ, то его
с помощью матричного закона (xi) (см. теорему 2.1) можно будет
вынести и поставить перед матрицей A:

                         A · (λ · b̄j ) = λ · (A · b̄j ),

а затем вынести и из-под знака определителя.
   В итоге мы получим вынесение за знак функции f (B) общего ска-
лярного множителя из j-го столбца.
   Полилинейность функции f (B) доказана.
   Ее антисимметричность легко следует из антисимметричности оп-
ределителя и того (очевидного) факта, что перестановка столбцов в
матрице B влечет перестановку соответствующих столбцов в A · B.
   Вычислим значение функции (27.12) на единичной матрице:

                      f (E) = det(A · E) = det(A).                  (27.14)

   Применим теорему 26.1:

                f (B) = det(B) · f (E) = det(B) · det(A).