Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

230 Теория определителей Гл. 4
С использованием закона (xi) матричной алгебры и предложения
28.1 получим:
A · B = A · (
1
det(A)
· A
∨
) =
1
det(A)
(A · A
∨
) =
1
det(A)
(det(A)E) = E.
Совершенно аналогично получается B · A = E. Значит, матрица
A обратима (и B = A
−1
). ¤
Замечание 28.1. В замечании 15.9 указывалось, что существова-
ние односторонней (правой или левой) обратной матрицы B для
квадратной матрицы A влечет тот факт, что B оказывается насто-
ящей (двусторонней) обратной матрицей. Другими словами, из ра-
венства A · B = E вытекает равенство B · A = E и наоборот.
Тот же самый вывод легко следует из теоеремы 28.1. [В самом
деле, для получения формулы (28.4) достаточно одного из указанных
выше равенств. Второе будет выполняться автоматически, в силу
теоремы.]
В качестве еще одного следствия из доказанной выше теоремы
приведем критерий обращения в нуль определителя квадратной
матрицы.
Предложение 28.2. Определитель квадратной матрицы обра-
щается в нуль тогда и только тогда, когда столбцы (строки) этой
матрицы линейно зависимы.
Доказательство. Согласно теореме 28.1, обращение в нуль опре-
делителя квадратной (n × n)-матрицы A равносильно вырожденно-
сти матрицы A, т. е. тому факту, что ранг этой матрицы (скажем —
столбцовый; см. теорему 12.1) меньше n, что, в свою очередь, равно-
сильно линейной зависимости столбцов A. (Со строками — все точно
так же, поскольку строчный и столбцовый ранги совпадают.) ¤
Еще одним (очевидным) следствием теорем 28.1 и 27.1 является
Предложение 28.3. Если матрица A обратима, то
det(A
−1
) =
1
det(A)
. (28.6)
Доказательство вытекает из соотношения A · A
−1
= E. ¤
230                  Теория определителей                     Гл. 4

   С использованием закона (xi) матричной алгебры и предложения
28.1 получим:

               1               1                  1
A·B =A·(           · A∨ ) =        (A · A∨ ) =        (det(A)E) = E.
            det(A)          det(A)             det(A)

  Совершенно аналогично получается B · A = E. Значит, матрица
A обратима (и B = A−1 ). ¤
   Замечание 28.1. В замечании 15.9 указывалось, что существова-
ние односторонней (правой или левой) обратной матрицы B для
квадратной матрицы A влечет тот факт, что B оказывается насто-
ящей (двусторонней) обратной матрицей. Другими словами, из ра-
венства A · B = E вытекает равенство B · A = E и наоборот.
   Тот же самый вывод легко следует из теоеремы 28.1. [В самом
деле, для получения формулы (28.4) достаточно одного из указанных
выше равенств. Второе будет выполняться автоматически, в силу
теоремы.]
   В качестве еще одного следствия из доказанной выше теоремы
приведем критерий обращения в нуль определителя квадратной
матрицы.
  Предложение 28.2. Определитель квадратной матрицы обра-
щается в нуль тогда и только тогда, когда столбцы (строки) этой
матрицы линейно зависимы.
   Доказательство. Согласно теореме 28.1, обращение в нуль опре-
делителя квадратной (n × n)-матрицы A равносильно вырожденно-
сти матрицы A, т. е. тому факту, что ранг этой матрицы (скажем —
столбцовый; см. теорему 12.1) меньше n, что, в свою очередь, равно-
сильно линейной зависимости столбцов A. (Со строками — все точно
так же, поскольку строчный и столбцовый ранги совпадают.) ¤
  Еще одним (очевидным) следствием теорем 28.1 и 27.1 является
  Предложение 28.3. Если матрица A обратима, то

                                         1
                        det(A−1 ) =          .                 (28.6)
                                      det(A)


  Доказательство вытекает из соотношения A · A−1 = E. ¤

Страницы