Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 236 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

236 Теория определителей Гл. 4
Легко видеть, что эти определители одинаковы и равны (λ − 1)
2
.
По формулам Крамера получаем в этом случае ответ:
x
i
=
∆
i
∆
=
1
λ + 2
; i = 1, 2, 3.
§
§
§ 30. Минорный ранг матрицы.
Вторая теорема о ранге матрицы
30.1. Миноры матрицы. Пусть A — прямоугольная матрица
размера m ×n, k — натуральное число, не превышающее min(m, n).
Определение 30.1. Рассмотрим какие-либо k строк матрицы A
с номерами i
1
< i
2
< ... < i
k
и какие-либо k столбцов с номерами
j
1
< j
2
< ... < j
k
, а также (k × k)-матрицу, получаемую на пере-
сечении указанных строк и столбцов. Определитель этой матрицы
называется минором порядка k для матрицы A и обозначается
k
M
i
1
,i
2
,...,i
k
j
1
,j
2
,...,j
k
= det
a
i
1
j
1
a
i
1
j
2
... a
i
1
j
k
a
i
2
j
1
a
i
2
j
2
... a
i
2
j
k
... ... ... ...
a
i
k
j
1
a
i
k
j
2
... a
i
k
j
k
. (30.1)
Замечание 30.1. Сложное обозначение (30.1), содержащее ниж-
ние индексы (номера столбцов), верхние индексы (номера строк), а
также указатель порядка минора, располагающийся над буквой M,
мы будем часто сокращать до более короткого обозначения
k
M (го-
воря, например, о произвольном миноре указанного порядка или о
существовании некоторого минора такого порядка с предписанным
свойством).
Ниже нам придется также говорить о включении одного мино-
ра в другой, более высокого порядка. Мы будем понимать это так:
к последовательностям строк и столбцов, задающим исходный ми-
нор, добавляется еще несколько новых строк и столько же новых
столбцов (последовательности остаются упорядоченными по возрас-
танию).
Замечание 30.2. Подсчитаем количество миноров порядка k. Сно-
ва нам понадобится комбинаторная формула для числа сочетаний
236                    Теория определителей                        Гл. 4

  Легко видеть, что эти определители одинаковы и равны (λ − 1)2 .
  По формулам Крамера получаем в этом случае ответ:
                            ∆i    1
                     xi =      =     ; i = 1, 2, 3.
                            ∆    λ+2




             § 30. Минорный ранг матрицы.
            Вторая теорема о ранге матрицы
  30.1. Миноры матрицы. Пусть A — прямоугольная матрица
размера m × n, k — натуральное число, не превышающее min(m, n).
   Определение 30.1. Рассмотрим какие-либо k строк матрицы A
с номерами i1 < i2 < ... < ik и какие-либо k столбцов с номерами
j1 < j2 < ... < jk , а также (k × k)-матрицу, получаемую на пере-
сечении указанных строк и столбцов. Определитель этой матрицы
называется минором порядка k для матрицы A и обозначается
                                                                
                                        ai1 j1 ai1 j2 ... ai1 jk
             k                         ai2 j1 ai2 j2 ... ai2 jk 
            M ji11,i,j22,...,i
                        ,...,jk = det  ...
                               k
                                                                 . (30.1)
                                                ...   ...  ...
                                        aik j1 aik j2 ... aik jk

  Замечание 30.1. Сложное обозначение (30.1), содержащее ниж-
ние индексы (номера столбцов), верхние индексы (номера строк), а
также указатель порядка минора, располагающийся над буквой M ,
                                                                   k
мы будем часто сокращать до более короткого обозначения M (го-
воря, например, о произвольном миноре указанного порядка или о
существовании некоторого минора такого порядка с предписанным
свойством).
   Ниже нам придется также говорить о включении одного мино-
ра в другой, более высокого порядка. Мы будем понимать это так:
к последовательностям строк и столбцов, задающим исходный ми-
нор, добавляется еще несколько новых строк и столько же новых
столбцов (последовательности остаются упорядоченными по возрас-
танию).
  Замечание 30.2. Подсчитаем количество миноров порядка k. Сно-
ва нам понадобится комбинаторная формула для числа сочетаний

Страницы