Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 238 стр.

238                  Теория определителей                      Гл. 4

  Замечание 30.4. Всегда находятся зубрилки, тараторящие послед-
нее определение, "слегка" путая окончания: "отличный" вместо "от-
личных". Если вы — не из их числа, то (в качестве упражнения)
подумайте: что определяет искаженное определение?
  Замечание 30.5. Используя краткое обозначение для миноров ма-
трицы A (см. замечание 30.1), данное выше определение 30.2 можно
пересказать следующим образом.
  Равенство
                         rankмин (A) = r,                   (30.3)
равносильно тому, что
                                      r
  1) в матрице A существует минор M , отличный от нуля;
                 k
  2) все миноры M порядка k > r обращаются в нуль (или их вообще
нет).
  Если вы уже свыклись с условностями математической логики, то
должны понимать, что во втором утверждении уточнение в скобках
можно без ущерба для смысла высказывания исключить. (Дело в
том, что об элементах пустого множества, например об отсутствую-
щих минорах, можно сказать что угодно.)
  Если придерживаться описанной выше "софистики", то и случай
нулевого ранга (имеющий место тогда и только тогда, когда A = O)
будет включаться в сформулированное выше правило. (Действи-
тельно, при r = 0 первое утверждение правила будет истинным, по-
скольку миноров нулевого порядка просто нет, а второе утверждение
будет означать прежде всего, что все миноры порядка 1, т. е. все эле-
менты матрицы, равны нулю.)

  Теперь мы еще раз вернемся ко второму утверждению обсуждае-
мого правила и сформулируем вспомогательное
  Предложение 30.1. Если в матрице A все миноры некоторого
порядка k обращаются в нуль, то и все миноры более высокого по-
рядка l > k также обращаются в нуль.
  Доказательство практически очевидно в силу теоремы Лапласа:
               k+1
всякий минор M , как определитель, можно разложить по какой-
либо строке, причем алгебраические дополнения к элементам строки
будут (с точностью до знака) совпадать с минорами k-го порядка (в
исходной матрице), а они по предположению все равны нулю; полу-
чается, что и все миноры порядка k + 1 также равны нулю; и т. д.
вверх по порядку миноров. ¤