Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 245 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30а Рекуррентности и определители 245
Пример 30а.2. Решим теперь следующую линейную однородную
рекуррентность первого порядка
u
k
= au
k−1
; k > 1 (30a.4)
с начальным условием
u
0
= α, (30a.5)
где a, α — действительные числа; a 6= 0.
Рассматриваемая рекуррентность названа линейной и однородной
потому, что члены искомой последовательности входят в уравнение
исключительно в первой степени. Легко понять, что сумма двух
решений (30a.4), а также произведение решения на число снова яв-
ляются решениями (30a.4). В частности, всегда существует (триви-
альное) решение u
k
= 0. Попытаемся найти нетривиальное решение.
Рассуждение начнем с весьма популярного в математике оборота:
"Будем искать решение задачи в виде (...)". Эта фраза означает, что
наши славные предшественники путем экспериментов и/или рассуж-
дений пришли к выводу, что некоторая функция от k, содержащая
неопределенный параметр, удовлетворяет исследуемым соотношени-
ям, но не при любых значениях параметра, а лишь при некоторых,
подлежащих определению.
Итак, будем искать решение рекуррентности в виде
u
k
= λ
k
, (30a.6)
где λ — подлежащий определению (ненулевой) параметр. Подстав-
ляя (30а.6) в (30a.4) и сокращая на λ
k −1
, получим λ = a. Только
при таком значении параметра последовательность (30а.6) подходит
в рекуррентную формулу.
Таким образом, найдено одно нетривиальное решение рекуррент-
ности:
u
(1)
k
= a
k
. (30a.7)
При любом значении константы C последовательность
u
k
= Cu
(1)
k
= Ca
k
(30a.8)
также будет решением (30a.4).
Докажем, что формула (30а.8) представляет из себя общее ре-
шение рекуррентности, т. е. что эта формула содержит в себе все
решения всевозможных начальных задач вида (30a.5).
§ 30а            Рекуррентности и определители                245

  Пример 30а.2. Решим теперь следующую линейную однородную
рекуррентность первого порядка

                        uk = auk−1 ; k > 1                  (30a.4)

с начальным условием
                             u0 = α,                        (30a.5)
где a, α — действительные числа; a 6= 0.
   Рассматриваемая рекуррентность названа линейной и однородной
потому, что члены искомой последовательности входят в уравнение
исключительно в первой степени. Легко понять, что сумма двух
решений (30a.4), а также произведение решения на число снова яв-
ляются решениями (30a.4). В частности, всегда существует (триви-
альное) решение uk = 0. Попытаемся найти нетривиальное решение.
   Рассуждение начнем с весьма популярного в математике оборота:
"Будем искать решение задачи в виде (...)". Эта фраза означает, что
наши славные предшественники путем экспериментов и/или рассуж-
дений пришли к выводу, что некоторая функция от k, содержащая
неопределенный параметр, удовлетворяет исследуемым соотношени-
ям, но не при любых значениях параметра, а лишь при некоторых,
подлежащих определению.
   Итак, будем искать решение рекуррентности в виде

                             u k = λk ,                     (30a.6)

где λ — подлежащий определению (ненулевой) параметр. Подстав-
ляя (30а.6) в (30a.4) и сокращая на λk−1 , получим λ = a. Только
при таком значении параметра последовательность (30а.6) подходит
в рекуррентную формулу.
   Таким образом, найдено одно нетривиальное решение рекуррент-
ности:
                              (1)
                             uk = ak .                    (30a.7)
  При любом значении константы C последовательность
                                 (1)
                        uk = Cuk = Cak                      (30a.8)

также будет решением (30a.4).
  Докажем, что формула (30а.8) представляет из себя общее ре-
шение рекуррентности, т. е. что эта формула содержит в себе все
решения всевозможных начальных задач вида (30a.5).

Страницы