Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 247 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30а Рекуррентности и определители 247
В случае D > 0 характеристическое уравнение имеет два различ-
ных действительных корня:
λ
1
=
1
2
(a −
√
D); λ
2
=
1
2
(a +
√
D). (30a.14)
Оба корня отличны от нуля, т. к., по теореме Виета, их произве-
дение равняется −b.
Следовательно, мы получаем два различных нетривиальных ре-
шения для рекуррентности (30а.10):
u
(1)
k
= λ
k
1
; u
(2)
k
= λ
k
2
. (30a.15)
В силу того что рекуррентность является линейной и однородной,
линейная комбинация
u
k
= C
1
u
(1)
k
+ C
2
u
(2)
k
= C
1
λ
k
1
+ C
2
λ
k
2
(30a.16)
при любых значениях констант C
1
и C
2
также будет ее решением.
Надо доказать, что (30а.16) есть общее решение этой рекуррентно-
сти.
Подберем значения C
1
и C
2
так, чтобы (30а.16) удовлетворяло
начальным условиям (30а.11). Для этого надо решить (относительно
C
1
и C
2
) систему линейных уравнений
½
C
1
+ C
2
= α;
λ
1
C
1
+ λ
2
C
2
= β.
(30a.17)
Определитель этой (квадратной) с.л.у. равен λ
2
− λ
1
и, следова-
тельно, отличен от нуля. Решение существует и единственно при
любых правых частях; его можно найти по формулам Крамера.
Этим уже доказано, что (30а.17) есть общее решение рекуррент-
ности.
Переходим ко второму случаю, D = 0. Здесь характеристическое
уравнение имеет единственный корень
λ
0
=
a
2
, (30a.18)
который отличен от нуля (в противном случае коэффициент a рав-
нялся бы нулю, и с ним вместе, в силу условия D = a
2
+ 4b = 0,
обращался бы в нуль коэффициент b, что противоречит предполо-
жению).
§ 30а           Рекуррентности и определители                247

  В случае D > 0 характеристическое уравнение имеет два различ-
ных действительных корня:
                       1     √        1    √
                λ1 =     (a − D); λ2 = (a + D).          (30a.14)
                       2              2
  Оба корня отличны от нуля, т. к., по теореме Виета, их произве-
дение равняется −b.
  Следовательно, мы получаем два различных нетривиальных ре-
шения для рекуррентности (30а.10):
                         (1)          (2)
                        uk = λk1 ; uk = λk2 .            (30a.15)

  В силу того что рекуррентность является линейной и однородной,
линейная комбинация
                         (1)      (2)
               uk = C1 uk + C2 uk = C1 λk1 + C2 λk2      (30a.16)

при любых значениях констант C1 и C2 также будет ее решением.
Надо доказать, что (30а.16) есть общее решение этой рекуррентно-
сти.
  Подберем значения C1 и C2 так, чтобы (30а.16) удовлетворяло
начальным условиям (30а.11). Для этого надо решить (относительно
C1 и C2 ) систему линейных уравнений
                     ½
                        C1   +    C2   = α;
                                                         (30a.17)
                       λ1 C1 + λ2 C2 = β.
  Определитель этой (квадратной) с.л.у. равен λ2 − λ1 и, следова-
тельно, отличен от нуля. Решение существует и единственно при
любых правых частях; его можно найти по формулам Крамера.
  Этим уже доказано, что (30а.17) есть общее решение рекуррент-
ности.
  Переходим ко второму случаю, D = 0. Здесь характеристическое
уравнение имеет единственный корень
                                      a
                               λ0 =     ,                (30a.18)
                                      2
который отличен от нуля (в противном случае коэффициент a рав-
нялся бы нулю, и с ним вместе, в силу условия D = a2 + 4b = 0,
обращался бы в нуль коэффициент b, что противоречит предполо-
жению).

Страницы