Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 249 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30а Рекуррентности и определители 249
Пример 30а.3. Решим рекуррентность
u
k
= 3u
k−1
− 2u
k −2
; k > 4; u
2
= 7; u
3
= 15.
Характеристическое уравнение: λ
2
− 3λ + 2 = 0.
Корни: λ
1
= 1, λ
2
= 2.
Общее решение рекуррентности: u
k
= C
1
+ C
2
2
k
.
С.л.у. для отыскания неопределенных констант:
½
C
1
+ 4C
2
= 7;
C
1
+ 8C
2
= 15.
Ее решение: C
1
= −1; C
2
= 2.
Частное решение рекуррентности, удовлетворяющее начальным
условиям: u
∗
k
= −1 + 2
k +1
.
Пример 30а.4 (без комментариев).
u
k
= 2u
k− 1
− u
k−2
; u
2
= 3; u
3
= 4;
λ
2
− 2λ + 1 = 0; D = 0; λ
0
= 1;
u
k
= C
1
+ C
2
k; C
1
= C
2
= 1; u
∗
k
= 1 + k.
Замечание 27а.2. Maple умеет решать рекуррентности. В специ-
альной команде rsolve надо (в фигурных скобках) набрать рекур-
рентное уравнение и начальные условия (аргумент последователь-
ности заключается в круглые скобки); кроме того, следует явно ука-
зать, относительно какой переменной решается рекуррентность.
> rsolve( u(k) = 3∗u(k−1) − 2∗u(k−2), u(2) = 7, u(3) = 15 , u );
2 2
k
− 1
> rsolve( u(k) = 2∗u(k−1) − u(k−2), u(2) = 3, u(3) = 4 , u(k) );
k + 1
30a.3. Последовательность Фибоначчи. Один из примеров,
посвященный так называемым числам Фибоначчи, в силу его ис-
ключительной важности, автору показалось уместным выделить в
особый пункт.
§ 30а            Рекуррентности и определители                    249

  Пример 30а.3. Решим рекуррентность

            uk = 3uk−1 − 2uk−2 ; k > 4; u2 = 7; u3 = 15.

  Характеристическое уравнение: λ2 − 3λ + 2 = 0.
  Корни: λ1 = 1, λ2 = 2.
  Общее решение рекуррентности: uk = C1 + C2 2k .
  С.л.у. для отыскания неопределенных констант:
                      ½
                          C1   + 4C2      = 7;
                          C1   + 8C2      = 15.

  Ее решение: C1 = −1; C2 = 2.
  Частное решение рекуррентности, удовлетворяющее начальным
условиям: u∗k = −1 + 2k+1 .
  Пример 30а.4 (без комментариев).

  uk = 2uk−1 − uk−2 ; u2 = 3; u3 = 4;
                  λ2 − 2λ + 1 = 0; D = 0; λ0 = 1;
                           uk = C1 + C2 k; C1 = C2 = 1; u∗k = 1 + k.


   Замечание 27а.2. Maple умеет решать рекуррентности. В специ-
альной команде rsolve надо (в фигурных скобках) набрать рекур-
рентное уравнение и начальные условия (аргумент последователь-
ности заключается в круглые скобки); кроме того, следует явно ука-
зать, относительно какой переменной решается рекуррентность.
  > rsolve( u(k) = 3∗u(k−1) − 2∗u(k−2), u(2) = 7, u(3) = 15 , u );

                               2 2k − 1
  > rsolve( u(k) = 2∗u(k−1) − u(k−2), u(2) = 3, u(3) = 4 , u(k) );

                                 k+1

   30a.3. Последовательность Фибоначчи. Один из примеров,
посвященный так называемым числам Фибоначчи, в силу его ис-
ключительной важности, автору показалось уместным выделить в
особый пункт.

Страницы