Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30а Рекуррентности и определители 251
При k = 2 имеем: d
2
= a
2
−bc, а при k = 3 получим: d
3
= a
3
−2abc.
Чтобы вычислить этот определитель при k > 4, разложим его по
первой строке.
Алгебраическим дополнением к элементу a
11
= a будет, очевидно,
A
11
= d
k− 1
, а алгебраическим дополнением к a
12
= c будет
A
12
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b c 0 ... 0 0 0
0 a c ... 0 0 0
0 b a ... 0 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... a c 0
0 0 0 ... b a c
0 0 0 ... 0 b a
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −b d
k− 2
,
где на последнем шаге последний определитель, (k − 1)-го порядка,
разложен по первому столбцу. При этом алгебраическим дополне-
нием к (единственному в столбце ненулевому) угловому элементу
оказывается определитель (k −2)-го порядка, такого же вида, что и
исходный.
Получаем рекуррентную формулу
d
k
= ad
k− 1
− bc d
k−2
. (30a.26)
Характеристическим уравнением будет
λ
2
− aλ + bc = 0.
Если дискриминант D = a
2
− 4bc > 0, то эту рекуррентность
можно решить описанным в п. 30а.3 способом, и тем самым получить
выражение для определителя d
k
при любом k > 2.
Пример 30а.6. 1. При a = 3, b = 1, c = 2 получается рекур-
рентность из примера 30а.3 и определитель находится по формуле
d
k
= 2
k+1
− 1.
2. При a = 2, b = c = 1 получается рекуррентность из примера
30а.4 и определитель находится по формуле d
k
= k + 1.
3. При a = c = 1, b = −1 получаем представление в виде опреде-
лителя чисел Фибоначчи:
§ 30а              Рекуррентности и определители                         251

  При k = 2 имеем: d2 = a2 −bc, а при k = 3 получим: d3 = a3 −2abc.
  Чтобы вычислить этот определитель при k > 4, разложим его по
первой строке.
  Алгебраическим дополнением к элементу a11 = a будет, очевидно,
A11 = dk−1 , а алгебраическим дополнением к a12 = c будет

                    ¯                                 ¯
                    ¯b       c 0 ... 0         0 0¯
                    ¯                                 ¯
                    ¯0       a c ... 0         0 0¯
                    ¯                                 ¯
                    ¯0       b a ... 0         0 0¯
                    ¯                                 ¯
          A12   = − ¯ ...   ... ... ... ...   ... ... ¯ = −b dk−2 ,
                    ¯                                 ¯
                    ¯0       0 0 ... a         c 0¯
                    ¯                                 ¯
                    ¯0       0 0 ... b         a c¯
                    ¯                                 ¯
                       0     0 0 ... 0         b a

где на последнем шаге последний определитель, (k − 1)-го порядка,
разложен по первому столбцу. При этом алгебраическим дополне-
нием к (единственному в столбце ненулевому) угловому элементу
оказывается определитель (k − 2)-го порядка, такого же вида, что и
исходный.
   Получаем рекуррентную формулу

                            dk = adk−1 − bc dk−2 .                    (30a.26)

  Характеристическим уравнением будет

                              λ2 − aλ + bc = 0.

  Если дискриминант D = a2 − 4bc > 0, то эту рекуррентность
можно решить описанным в п. 30а.3 способом, и тем самым получить
выражение для определителя dk при любом k > 2.

   Пример 30а.6. 1. При a = 3, b = 1, c = 2 получается рекур-
рентность из примера 30а.3 и определитель находится по формуле
dk = 2k+1 − 1.
   2. При a = 2, b = c = 1 получается рекуррентность из примера
30а.4 и определитель находится по формуле dk = k + 1.
   3. При a = c = 1, b = −1 получаем представление в виде опреде-
лителя чисел Фибоначчи:

Страницы