Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 252 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

252 Теория определителей Гл. 4
f
k
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 0 0 ... 0 0 0
−1 1 1 0 ... 0 0 0
0 −1 1 1 ... 0 0 0
0 0 −1 1 ... 0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 1 1 0
0 0 0 0 ... −1 1 1
0 0 0 0 ... 0 −1 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (30a.27)
30a.5. Определитель Вандермонда. В этом пункте мы рас-
смотрим еще один "знаменитый" определитель, который носит имя,
указанное в заголовке пункта, и определяется формулой
∆
n
= ∆
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) =
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 ... 1 1
x
1
x
2
x
3
... x
n−1
x
n
x
2
1
x
2
2
x
2
3
... x
2
n−1
x
2
n
... ... ... ... ...
x
n−2
1
x
n−2
2
x
n−2
3
... x
n−2
n−1
x
n−2
n
x
n−1
1
x
n−1
2
x
n−1
3
... x
n−1
n−1
x
n−1
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, (30a.28)
где n > 2.
Как видите, этот определитель зависит от n параметров (перемен-
ных) x
1
, ..., x
n
. Поскольку при вычислении определителя использу-
ются лишь алгебраические действия сложения и умножения, то мож-
но заранее утверждать, что ∆
n
(x
1
, ..., x
n
) является многочленом от
n своих переменных. (Теории многочленов от нескольких перемен-
ных будут посвящены § 48, 49. Там нам предстоит еще одна встреча
с определителем Вандермонда.)
Начальным значением для рекуррентности (первого порядка), ко-
торую мы далее выведем, будет
∆
2
(x
1
, x
2
) =
¯
¯
¯
¯
1 1
x
1
x
2
¯
¯
¯
¯
= x
2
− x
1
. (30a.29)
Чтобы вывести рекуррентную формулу, воспользуемся тем фак-
том, что значение определителя не меняется при элементарных пре-
образованиях второго типа над строками.
В определителе (30а.28) прибавим к каждой строке, начиная с
последней, предыдущую строку, домноженную на (−x
1
); затем по-
лученный определитель разложим по первому столбцу (он содержит
252                     Теория определителей                                    Гл. 4


              ¯                                                   ¯
              ¯ 1    1       0   0     ... 0         0         0¯
              ¯                                                   ¯
              ¯ −1 1         1   0     ... 0         0         0¯
              ¯                                                   ¯
              ¯ 0 −1         1   1     ... 0         0         0¯
              ¯                                                   ¯
              ¯ 0    0      −1 1       ... 0         0         0¯
         fk = ¯                                                   ¯.          (30a.27)
              ¯ ... ...     ... ...    ... ...      ...       ... ¯
              ¯                                                   ¯
              ¯ 0    0       0   0     ... 1         1         0¯
              ¯                                                   ¯
              ¯ 0    0       0   0     ... −1        1         1¯
              ¯                                                   ¯
                 0   0       0   0     ... 0        −1         1

  30a.5. Определитель Вандермонда. В этом пункте мы рас-
смотрим еще один "знаменитый" определитель, который носит имя,
указанное в заголовке пункта, и определяется формулой

  ∆n = ∆n (x1 , x2 , ..., xn ) =
                      ¯                                                  ¯
                      ¯ 1         1      1    ...         1             1¯
                      ¯                                                  ¯
                      ¯ x1       x2     x3    ...    xn−1              xn¯
                      ¯ 2                                                ¯
                      ¯ x1       x22    x23   ...    x2n−1               ¯
                                                                       x2n
                 = ¯¯                                                    ¯,
                                                                         ¯    (30a.28)
                          ...
                      ¯ n−2      ...    ...   ...      ...               ¯
                      ¯ x1       n−2    n−2           n−2            n−2 ¯
                      ¯ n−1 xn−1 2     x3     ...    xn−1          xn ¯
                      ¯x        x2     xn−1   ...    xn−1          xnn−1 ¯
                          1             3             n−1

где n > 2.
   Как видите, этот определитель зависит от n параметров (перемен-
ных) x1 , ..., xn . Поскольку при вычислении определителя использу-
ются лишь алгебраические действия сложения и умножения, то мож-
но заранее утверждать, что ∆n (x1 , ..., xn ) является многочленом от
n своих переменных. (Теории многочленов от нескольких перемен-
ных будут посвящены § 48, 49. Там нам предстоит еще одна встреча
с определителем Вандермонда.)
   Начальным значением для рекуррентности (первого порядка), ко-
торую мы далее выведем, будет
                                       ¯       ¯
                                       ¯ 1  1  ¯
                      ∆2 (x1 , x2 ) = ¯¯       ¯ = x2 − x1 .  (30a.29)
                                         x1 x2 ¯
  Чтобы вывести рекуррентную формулу, воспользуемся тем фак-
том, что значение определителя не меняется при элементарных пре-
образованиях второго типа над строками.
  В определителе (30а.28) прибавим к каждой строке, начиная с
последней, предыдущую строку, домноженную на (−x1 ); затем по-
лученный определитель разложим по первому столбцу (он содержит

Страницы