Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

250 Теория определителей Гл. 4
Пример 30а.5. Последовательность чисел Фибоначчи определя-
ется рекуррентностью:
f
k
= f
k− 1
+ f
k −2
; f
0
= 1; f
1
= 1. (30a.23)
Несколько ее первых членов таковы:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Характеристическое уравнение и его корни:
λ
2
− λ − 1 = 0; λ
1,2
=
1 ±
√
5
2
.
Явная формула для чисел Фибоначчи:
f
k
=
1
√
5
−
Ã
1 −
√
5
2
!
k +1
+
Ã
1 +
√
5
2
!
k+1
. (30a.24)
Впечатляет тот факт, что в явной формуле для членов заведо-
мо целочисленной последовательности фигурирует иррациональное
число
√
5.
Замечание 30а.3. Формулу для чисел Фибоначчи Maple представ-
ляет следующим образом:
> rsolve( f(k) = f(k−1) + f(k−2), f(0) = 1, f(1) = 1, f(k) );
Ã
√
5
10
+
1
2
!Ã
1
2
+
√
5
2
!
k
+
Ã
−
√
5
10
+
1
2
!Ã
1
2
−
√
5
2
!
k
30a.4. Определители некоторых трехдиагональных мат-
риц. Рассмотрим определитель k-го порядка следующего специаль-
ного вида:
d
k
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a c 0 0 ... 0 0 0
b a c 0 ... 0 0 0
0 b a c ... 0 0 0
0 0 b a ... 0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... a c 0
0 0 0 0 ... b a c
0 0 0 0 ... 0 b a
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, (30a.25)
где a, b, c ∈ R; k > 2.
250                       Теория определителей                      Гл. 4

   Пример 30а.5. Последовательность чисел Фибоначчи определя-
ется рекуррентностью:
                    fk = fk−1 + fk−2 ; f0 = 1; f1 = 1.            (30a.23)
  Несколько ее первых членов таковы:
                     1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
  Характеристическое уравнение и его корни:
                                           √
                                       1 ±   5
                λ2 − λ − 1 = 0; λ1,2 =         .
                                          2
  Явная формула для чисел Фибоначчи:
               Ã                           
                      √ !k+1 Ã       √ !k+1
           1      1− 5           1+ 5
     fk = √  −              +              .                    (30a.24)
            5        2              2

  Впечатляет тот факт, что в явной формуле для членов заведо-
мо целочисленной
      √          последовательности фигурирует иррациональное
число 5.
  Замечание 30а.3. Формулу для чисел Фибоначчи Maple представ-
ляет следующим образом:
  > rsolve( f(k) = f(k−1) + f(k−2), f(0) = 1, f(1) = 1, f(k) );
         Ã√         !à        √ !k à √       !à     √ !k
            5 1           1     5      5 1      1     5
              +             +     + −    +        −
           10   2         2    2      10   2    2    2

  30a.4. Определители некоторых трехдиагональных мат-
риц. Рассмотрим определитель k-го порядка следующего специаль-
ного вида:
                ¯                                 ¯
                ¯ a c 0 0 ... 0 0 0 ¯
                ¯                                 ¯
                ¯ b a c 0 ... 0 0 0 ¯
                ¯                                 ¯
                ¯ 0 b a c ... 0 0 0 ¯
                ¯                                 ¯
                ¯ 0 0 b a ... 0 0 0 ¯
           dk = ¯                                 ¯,   (30a.25)
                ¯ ... ... ... ... ... ... ... ... ¯
                ¯                                 ¯
                ¯ 0 0 0 0 ... a c 0 ¯
                ¯                                 ¯
                ¯ 0 0 0 0 ... b a c ¯
                ¯                                 ¯
                   0 0 0 0 ... 0 b a
где a, b, c ∈ R; k > 2.

Страницы