Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30а Рекуррентности и определители 253
всего один элемент), а в получившемся определителе порядка n − 1
из каждого столбца вынесем образовавшийся в этом столбце общий
множитель. Получим:
∆
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) =
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 ... 1
0 x
2
− x
1
x
3
− x
1
... x
n
− x
1
0 x
2
2
− x
2
x
1
x
2
3
− x
3
x
1
... x
2
n
− x
n
x
1
... ... ... ... ...
0 x
n−1
2
− x
n−2
2
x
1
x
n−1
3
− x
n−2
3
x
1
... x
n−1
n
− x
n−2
n
x
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
2
− x
1
x
3
− x
1
... x
n
− x
1
x
2
2
− x
2
x
1
x
2
3
− x
3
x
1
... x
2
n
− x
n
x
1
... ... ... ...
x
n−1
2
− x
n−2
2
x
1
x
n−1
3
− x
n−2
3
x
1
... x
n−1
n
− x
n−2
n
x
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
2
− x
1
x
3
− x
1
... x
n
− x
1
x
2
(x
2
− x
1
) x
3
(x
3
− x
1
) ... x
n
(x
n
− x
1
)
... ... ... ...
x
n−2
2
(x
2
− x
1
) x
n−2
3
(x
3
− x
1
) ... x
n−2
n
(x
n
− x
1
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= (x
2
− x
1
)(x
3
− x
1
)...(x
n
− x
1
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 ... 1
x
2
x
3
... x
n
... ... ... ...
x
n−2
2
x
n−2
3
... x
n−2
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= (x
2
− x
1
)(x
3
− x
1
)...(x
n
− x
1
) ∆
n−1
(x
2
, x
3
, ..., x
n
).
Объединяя начало и конец цепочки вычислений, получаем:
∆
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) =
= (x
2
− x
1
)(x
3
− x
1
)...(x
n
− x
1
) ∆
n−1
(x
2
, x
3
, ..., x
n
). (30a.30)
Теперь можно сформулировать окончательный результат.
§ 30а                  Рекуррентности и определители                             253

всего один элемент), а в получившемся определителе порядка n − 1
из каждого столбца вынесем образовавшийся в этом столбце общий
множитель. Получим:

                                ∆n (x1 , x2 , ..., xn ) =


    ¯                                                                     ¯
    ¯1           1                         1            ...        1      ¯
    ¯                                                                     ¯
    ¯0      x2 − x1                   x3 − x1           ...    xn − x1    ¯
    ¯                                                                     ¯
   =¯0     x22 − x2 x1               x23 − x3 x1        ...    2
                                                              xn − xn x1 ¯ =
    ¯                                                                     ¯
    ¯ ...       ...                       ...           ...       ...     ¯
    ¯                                                                     ¯
       0 x2 − xn−2
          n−1
                    2  x1          x3 − xn−2
                                    n−1
                                              3  x1          n−1
                                                        ... xn − xn x1n−2




         ¯                                                              ¯
         ¯      x2 − x1            x3 − x1            ...    xn − x1    ¯
         ¯                                                              ¯
         ¯     x22 − x2 x1        x23 − x3 x1         ...    2
                                                            xn − xn x1 ¯
        =¯                                                              ¯=
         ¯          ...                ...            ...       ...     ¯
         ¯                                                              ¯
             x2 − xn−2
              n−1
                        2  x1   x3 − xn−2
                                 n−1
                                           3  x1           n−1
                                                      ... xn − xn x1n−2




          ¯                                                             ¯
          ¯   x2 − x1        x3 − x1                 ...    xn − x1     ¯
          ¯                                                             ¯
          ¯ x (x − x1 )    x3 (x3 − x1 )             ...  xn (xn − x1 ) ¯
         =¯ 2 2                                                         ¯=
          ¯      ...            ...                  ...       ...      ¯
          ¯ n−2            n−2                            n−2           ¯
            x2 (x2 − x1 ) x3 (x3 − x1 )              ... xn (xn − x1 )


                                            ¯                               ¯
                                            ¯ 1               1    ...   1 ¯
                                            ¯                               ¯
                                            ¯ x              x3    ...  xn ¯
        = (x2 − x1 )(x3 − x1 )...(xn − x1 ) ¯ 2                             ¯=
                                            ¯ ...            ...   ...  ... ¯
                                            ¯ n−2            n−2            ¯
                                              x2            x3     ... xn−2
                                                                        n


             = (x2 − x1 )(x3 − x1 )...(xn − x1 ) ∆n−1 (x2 , x3 , ..., xn ).
  Объединяя начало и конец цепочки вычислений, получаем:

  ∆n (x1 , x2 , ..., xn ) =
           = (x2 − x1 )(x3 − x1 )...(xn − x1 ) ∆n−1 (x2 , x3 , ..., xn ). (30a.30)

  Теперь можно сформулировать окончательный результат.

Страницы