Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 254 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

254 Теория определителей Гл. 4
Предложение 30а.1. Определитель Вандермонда (30а.28) мо-
жет быть вычислен по формуле
∆
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) =
Y
16i<j6n
(x
j
− x
i
). (30a.31)
Этот определитель отличен от нуля тогда и только тогда, когда
все значения x
1
, x
2
, ..., x
n
попарно различны.
Доказательство. При n = 2 формула (30а.31) верна, поскольку
сводится к (30а.29). Индуктивный шаг обеспечивает рекуррентная
формула (30а.30).
Второе утверждение предложения очевидным образом следует из
формулы (30а.31). ¤
Замечание 30а.4. Именно тем фактом, что определитель Вандер-
монда служит "индикатором" наличия (отсутствия) совпадений в
списке чисел x
1
, x
2
, ..., x
n
, объясняется его важная роль во многих
разделах математики.
Например, в § 49 с помощью этого определителя будет введено по-
нятие дискриминанта для многочлена степени n, который отвечает
за наличие (отсутствие) у многочлена кратных корней.
254                   Теория определителей                        Гл. 4

  Предложение 30а.1. Определитель Вандермонда (30а.28) мо-
жет быть вычислен по формуле
                                              Y
                ∆n (x1 , x2 , ..., xn ) =         (xj − xi ).   (30a.31)
                                            16i

Страницы