Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 256 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

256 Поле комплексных чисел Гл. 5
где −a > 0, и заметим: для того чтобы научиться извлекать квад-
ратные корни из отрицательных чисел, достаточно определить, чему
равен корень квадратный из −1.
Введем в рассмотрение новый символ
i =
√
−1, (31.3)
который будем называть мнимой единицей. По построению полу-
чим:
i
2
= −1. (31.4)
Таким образом, "новое число" i будет удовлетворять уравнению
x
2
= −1. Число −i также будет удовлетворять этому уравнению,
и поскольку соблюдение обычных алгебраических законов (в новой,
более широкой числовой области) потребует, чтобы квадратное урав-
нение имело не более двух решений, то формула x
1,2
= ±i будет
исчерпывать множество решений уравнения x
2
= −1.
Теперь мы сумеем найти множество решений уравнения (31.1) с
отрицательной правой частью:
x
1,2
= ±
√
−a · i, (31.5)
где под
√
−a понимается арифметический квадратный корень.
Выражения вида y · i, где y ∈ R, y 6= 0, называются (чисто) мни-
мыми числами. В этих терминах можно заявить, что уравнение
x
2
= a с отрицательной правой частью имеет два (различных) чи-
сто мнимых решения или, другими словами, существует два чисто
мнимых значения для квадратного корня из отрицательного дей-
ствительного числа.
Комплексным числом называется выражение вида
z = x + yi, (31.6)
где x и y — действительные числа, а i — мнимая единица.
При y = 0 комплексное число (31.6) является действительным, а
при x = 0 и y 6= 0 — чисто мнимым. Действительное число x на-
зывается действительной частью комплексного числа z; вводится
обозначение
Re(z) = x. (31.7)
Мнимой частью комплексного числа z называется (также действи-
тельное!) число y; обозначение:
Im(z) = y. (31.8)
256                Поле комплексных чисел                     Гл. 5

где −a > 0, и заметим: для того чтобы научиться извлекать квад-
ратные корни из отрицательных чисел, достаточно определить, чему
равен корень квадратный из −1.
   Введем в рассмотрение новый символ
                               √
                            i = −1,                        (31.3)
который будем называть мнимой единицей. По построению полу-
чим:
                          i2 = −1.                    (31.4)
   Таким образом, "новое число" i будет удовлетворять уравнению
 2
x = −1. Число −i также будет удовлетворять этому уравнению,
и поскольку соблюдение обычных алгебраических законов (в новой,
более широкой числовой области) потребует, чтобы квадратное урав-
нение имело не более двух решений, то формула x1,2 = ±i будет
исчерпывать множество решений уравнения x2 = −1.
   Теперь мы сумеем найти множество решений уравнения (31.1) с
отрицательной правой частью:
                                  √
                          x1,2 = ± −a · i,                    (31.5)
        √
где под −a понимается арифметический квадратный корень.
   Выражения вида y · i, где y ∈ R, y 6= 0, называются (чисто) мни-
мыми числами. В этих терминах можно заявить, что уравнение
x2 = a с отрицательной правой частью имеет два (различных) чи-
сто мнимых решения или, другими словами, существует два чисто
мнимых значения для квадратного корня из отрицательного дей-
ствительного числа.
   Комплексным числом называется выражение вида
                            z = x + yi,                       (31.6)
где x и y — действительные числа, а i — мнимая единица.
   При y = 0 комплексное число (31.6) является действительным, а
при x = 0 и y 6= 0 — чисто мнимым. Действительное число x на-
зывается действительной частью комплексного числа z; вводится
обозначение
                           Re(z) = x.                      (31.7)
  Мнимой частью комплексного числа z называется (также действи-
тельное!) число y; обозначение:
                            Im(z) = y.                        (31.8)

Страницы