Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 257 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 31 Векторная модель поля C 257
Два комплексных числа z = x + yi и z
0
= x
0
+ y
0
i считаются
равными, если равны их действительные и мнимые части: x = x
0
и
y = y
0
.
Множество всех комплексных чисел определяется формулой
C = {z = x + yi : x, y ∈ R; i
2
= −1 }. (31.9)
Рассмотрим квадратное уравнение с действительными коэффици-
ентами (a, b, c ∈ R; a 6= 0):
ax
2
+ bx + c = 0. (31.10)
В случае положительности дискриминанта
D = b
2
− 4ac (31.11)
это уравнение имеет два различных действительных решения:
x
1,2
=
−b ±
√
D
2a
. (31.12)
В случае D = 0 уравнение (31.10) имеет одно действительное ре-
шение
x
0
= −
b
2a
. (31.13)
Допустимо также говорить о двух одинаковых решениях:
x
1
= x
2
(= x
0
).
В случае D < 0 формуле (31.12) можно придать смысл, если из-
влечь корень квадратный из дискриминанта с использованием мни-
мых чисел [см. формулу (31.5)]:
x
1,2
=
−b ± i
√
−D
2a
. (31.14)
Если мы убедимся предварительно, что над комплексными чис-
лами можно производить все те же алгебраические действия, что и
над действительными, с соблюдением всех девяти аксиом поля (см.
п. 2.1), то [поскольку при выводе формулы (31.12) ничего, кроме
§ 31               Векторная модель поля C                  257

   Два комплексных числа z = x + yi и z 0 = x0 + y 0 i считаются
равными, если равны их действительные и мнимые части: x = x0 и
y = y0 .
   Множество всех комплексных чисел определяется формулой

              C = { z = x + yi : x, y ∈ R; i2 = −1 }.      (31.9)

  Рассмотрим квадратное уравнение с действительными коэффици-
ентами (a, b, c ∈ R; a 6= 0):

                        ax2 + bx + c = 0.                 (31.10)

   В случае положительности дискриминанта

                          D = b2 − 4ac                    (31.11)

это уравнение имеет два различных действительных решения:
                                      √
                                 −b ± D
                        x1,2   =        .                 (31.12)
                                    2a

  В случае D = 0 уравнение (31.10) имеет одно действительное ре-
шение
                                  b
                          x0 = − .                       (31.13)
                                 2a
   Допустимо также говорить о двух одинаковых решениях:

                         x1 = x2 (= x0 ).

  В случае D < 0 формуле (31.12) можно придать смысл, если из-
влечь корень квадратный из дискриминанта с использованием мни-
мых чисел [см. формулу (31.5)]:
                                      √
                                −b ± i −D
                       x1,2   =           .               (31.14)
                                    2a

   Если мы убедимся предварительно, что над комплексными чис-
лами можно производить все те же алгебраические действия, что и
над действительными, с соблюдением всех девяти аксиом поля (см.
п. 2.1), то [поскольку при выводе формулы (31.12) ничего, кроме

Страницы