Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 259 стр.

§ 31                   Векторная модель поля C                            259

  31.2. Алгебраические действия над комплексными чис-
лами. Сумма двух комплексных чисел

                          z = x + yi; w = u + vi                       (31.19)

определяется естественной формулой

        z + w = (x + yi) + (u + vi) = (x + u) + (y + v)i,              (31.20)

т. е. при сложении комплексных чисел по отдельности складываются
их действительные и мнимые части. Роль нуля в множестве C будет
играть (действительное) число 0 = 0 + 0 · i. Противоположным к
числу z будет число −z = (−x) + (−y)i. Вычитание z − w сводится к
сложению z + (−w).
    Произведение чисел (31.19) определяется с помощью следующей
выкладки [использующей (31.4)]:

  z · w = (x + yi) · (u + vi) = x · u + x · (vi) + (yi) · u + (yi) · (vi) =
                 = xu + (yv)i2 + (xv + yu)i = (xu − yv) + (xv + yu)i,

или в окончательном виде:

                      z · w = (xu − yv) + (xv + yu)i.                  (31.21)

  Роль единичного элемента в множестве комплексных чисел играет
обычная (действительная) единица. В частном случае, когда один из
сомножителей в формуле (31.21) является действительным числом,
умножение приобретает "покомпонентный" характер: действитель-
ная и мнимая части комплексного числа по отдельности умножаются
на действительное число:

                       x · w = (xu) + (xv)i; x ∈ R.                    (31.22)

  Важным особым случаем является произведение комплексного
числа на сопряженное число:

                   z · z̄ = (x + yi) · (x − yi) = x2 + y 2 .           (31.23)

   Результат является действительным числом, причем неотрица-
тельным. Более того, можно заметить, что произведение z z̄ положи-
тельно (соответственно равно 0) тогда и только тогда, когда z 6= 0
(соответственно z = 0).