Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 261 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 31 Векторная модель поля C 261
Следует только учесть периодическое, с периодом 4, повторение
степеней мнимой единицы:
i
0
= 1; i
1
= i; i
2
= −1; i
3
= −i; i
4
= 1; i
5
= i; . . . (31.27)
В окончательном ответе можно перегруппировать слагаемые, от-
делив действительную часть от мнимой; получатся две суммы (в
каждой из которых чередуются знаки):
(x + yi)
n
=
=
X
l>0
2l6n
(−1)
l
C
2l
n
x
n−2l
y
2l
+ i
X
l>0
2l+16n
(−1)
l
C
2l+1
n
x
n−2l−1
y
2l+1
. (31.28)
[Не пугайтесь формулы (31.28) — ее не следует запоминать: в кон-
кретных примерах будут конкретные значения n и слагаемые "сами
собой" перегруппируются.]
Пример 31.1. Рассмотрим комплексные числа z = 2 + 3i и w =
−5 + 7i. Выполним над ними четыре арифметических действия:
z + w = −3 + 10i; z − w = 7 − 4i;
z · w = (2 + 3i)(−5 + 7i) = −10 + 21i
2
+ 14i − 15i = −31 − i;
w
z
=
−5 + 7i
2 + 3i
=
(−5 + 7i)(2 − 3i)
(2 + 3i)(2 − 3i)
=
11 + 29i
13
=
11
13
+
29
13
i.
Возведем число z в степень n = 5:
z
5
= (2 + 3i)
5
=
= C
0
5
2
5
3
0
i
0
+ C
1
5
2
4
3
1
i
1
+ C
2
5
2
3
3
2
i
2
+ C
3
5
2
2
3
3
i
3
+ C
4
5
2
1
3
4
i
4
+ C
5
5
2
0
3
5
i
5
=
= 1·32·1·1+5·16·3·i+10·8·9·(−1)+10·4·27·(−i)+5·2·81·1+1·1·243·i =
= (32 − 720 + 810) + (240 − 1080 + 243)i = 122 − 597i.
Пример 31.2. Система Maple работает с комплексными числами
столь же легко, как и с действительными. Для мнимой единицы в
Maple зарезервировано обозначение I.
> z := 2 + 3 ∗ I; w := −5 + 7 ∗ I;
z := 2 + 3I
§ 31                      Векторная модель поля C                                    261

   Следует только учесть периодическое, с периодом 4, повторение
степеней мнимой единицы:

        i0 = 1; i1 = i; i2 = −1; i3 = −i; i4 = 1; i5 = i; . . .                   (31.27)

  В окончательном ответе можно перегруппировать слагаемые, от-
делив действительную часть от мнимой; получатся две суммы (в
каждой из которых чередуются знаки):

  (x + yi)n =
      X                     X
              l 2l n−2l 2l
   =      (−1) Cn x    y +i   (−1)l Cn2l+1 xn−2l−1 y 2l+1 .                       (31.28)
         l>0                             l>0
        2l6n                           2l+16n


   [Не пугайтесь формулы (31.28) — ее не следует запоминать: в кон-
кретных примерах будут конкретные значения n и слагаемые "сами
собой" перегруппируются.]
  Пример 31.1. Рассмотрим комплексные числа z = 2 + 3i и w =
−5 + 7i. Выполним над ними четыре арифметических действия:

                      z + w = −3 + 10i; z − w = 7 − 4i;

       z · w = (2 + 3i)(−5 + 7i) = −10 + 21i2 + 14i − 15i = −31 − i;
        w   −5 + 7i   (−5 + 7i)(2 − 3i)   11 + 29i   11 29
          =         =                   =          =   + i.
        z    2 + 3i    (2 + 3i)(2 − 3i)      13      13 13
   Возведем число z в степень n = 5:

  z 5 = (2 + 3i)5 =
= C50 25 30 i0 + C51 24 31 i1 + C52 23 32 i2 + C53 22 33 i3 + C54 21 34 i4 + C55 20 35 i5 =
= 1·32·1·1+5·16·3·i+10·8·9·(−1)+10·4·27·(−i)+5·2·81·1+1·1·243·i =
                = (32 − 720 + 810) + (240 − 1080 + 243)i = 122 − 597i.

   Пример 31.2. Система Maple работает с комплексными числами
столь же легко, как и с действительными. Для мнимой единицы в
Maple зарезервировано обозначение I.
   > z := 2 + 3 ∗ I; w := −5 + 7 ∗ I;

                                     z := 2 + 3I

Страницы