Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 260 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

260 Поле комплексных чисел Гл. 5
Для любого ненулевого комплексного числа z существует обрат-
ное число: оно получается, если сопряженное число ¯z домножить на
(положительное) действительное число (z¯z)
−1
:
z
−1
=
1
z¯z
· ¯z =
1
x
2
+ y
2
· (x − yi) =
x
x
2
+ y
2
− i
y
x
2
+ y
2
. (31.24)
[Убедитесь в том, что произведение данного числа z на последнее
выражение в цепочке равенств (31.24) в самом деле дает единицу.]
Деление комплексного числа w на комплексное число z 6= 0 осу-
ществляется как умножение w·z
−1
. На практике деление оформляют
следующим образом:
w
z
=
u + vi
x + yi
=
(u + vi)(x − yi)
(x + yi)(x − yi)
=
(ux + vy) + (vx − uy)i
x
2
+ y
2
.
Это вычисление часто сопровождают словами: домножим числи-
тель и знаменатель дроби на число, сопряженное к знаменателю.
Окончательный результат выглядит следующим образом:
w
z
=
ux + vy
x
2
+ y
2
+
vx − uy
x
2
+ y
2
i. (31.25)
Для алгебраических действий в C сохраняются все "полевые зако-
ны" (см. п. 2.1) и их следствия (такие, например, как "самые школь-
ные" формулы сокращенного умножения; кстати, раньше эти фор-
мулы школьники помнили лучше, поскольку их писали на учениче-
ских портфелях).
Остаются справедливыми и более сложные формулы, скажем би-
ном Ньютона:
(z + w)
n
=
n
X
k =0
C
k
n
z
n−k
w
k
, (31.26)
где z, w ∈ C; n ∈ N; C
k
n
=
n!
k!(n−k)!
— биномиальный коэффициент
(число сочетаний из n элементов по k).
По формуле (31.26) удобно производить возведение комплексного
числа в натуральную степень:
(x + yi)
n
=
n
X
k =0
C
k
n
x
n−k
y
k
i
k
.
260                      Поле комплексных чисел                          Гл. 5

   Для любого ненулевого комплексного числа z существует обрат-
ное число: оно получается, если сопряженное число z̄ домножить на
(положительное) действительное число (z z̄)−1 :

                1            1                   x            y
      z −1 =        · z̄ = 2     · (x − yi) =          − i          .   (31.24)
               z z̄       x + y2              x2 + y 2     x2 + y 2

  [Убедитесь в том, что произведение данного числа z на последнее
выражение в цепочке равенств (31.24) в самом деле дает единицу.]
  Деление комплексного числа w на комплексное число z 6= 0 осу-
ществляется как умножение w·z −1 . На практике деление оформляют
следующим образом:

        w   u + vi   (u + vi)(x − yi)   (ux + vy) + (vx − uy)i
          =        =                  =                        .
        z   x + yi   (x + yi)(x − yi)          x2 + y 2

  Это вычисление часто сопровождают словами: домножим числи-
тель и знаменатель дроби на число, сопряженное к знаменателю.
Окончательный результат выглядит следующим образом:

                           w  ux + vy vx − uy
                             = 2     + 2      i.                        (31.25)
                           z  x + y2  x + y2

  Для алгебраических действий в C сохраняются все "полевые зако-
ны" (см. п. 2.1) и их следствия (такие, например, как "самые школь-
ные" формулы сокращенного умножения; кстати, раньше эти фор-
мулы школьники помнили лучше, поскольку их писали на учениче-
ских портфелях).
  Остаются справедливыми и более сложные формулы, скажем би-
ном Ньютона:
                                  Xn
                              n
                       (z + w) =     Cnk z n−k wk ,          (31.26)
                                        k=0

                              n!
где z, w ∈ C; n ∈ N; Cnk = k!(n−k)! — биномиальный коэффициент
(число сочетаний из n элементов по k).
   По формуле (31.26) удобно производить возведение комплексного
числа в натуральную степень:
                                       n
                                       X
                                  n
                          (x + yi) =         Cnk xn−k y k ik .
                                       k=0

Страницы