Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 364 стр.

364                   Алгебра многочленов                        Гл. 6

  Определение 39.1. Функция, заданная формулой (39.3), назы-
вается полиномиальной функцией, отвечающей многочлену (36.1).
   Замечание 39.1. Обратите внимание на "легкое" видоизменение
шрифта в обозначении значений многочлена и полиномиальной фун-
кции. Мы хотим подчеркнуть, что имеем дело с новым математи-
ческим объектом, связанным с многочленом, но не тождественным
ему. (Впоследствии мы о таких тонкостях будем забывать, но пока
условимся многочлены обозначать принятым при наборе формул так
называемым математическим курсивом, а соответствующие поли-
номиальные функции — прямым шрифтом.)
   Термины значение полиномиальной функции (в некоторой точке)
и значение многочлена (в той же точке) мы различать не будем.
Уже в следующем пункте, допуская "вольность речи" и "вольность
в обозначениях", мы будем говорить о значении многочлена в точке
c и писать f (c), не заботясь о шрифтах.
   Вообще, не взирая на репутацию "строжайшей" из наук, матема-
тика изобилует подобными отклонениями от строгой терминологии.
Иначе математические тексты было бы очень трудно читать. Пас-
саж "вольность речи" введен в оборот группой французских матема-
тиков, работавшей под псевдонимом Н. Бурбаки (чем и прославив-
шей не очень популярного французского генерала). В прошлом веке
Бурбаки буквально потрясли всю математику, затеяв ее ревизию от
самых оснований и до наиболее "продвинутых" ветвей. Многотом-
ный тракт Бурбаки под названием "Элементы математики" вызвал
и продолжает вызывать как неумеренные восторги, так и яростное
отторжение. (Это информация для тех, кто думает, что математика
— "спокойная" и "мирная" наука.)
    Множество всех функций из поля P в себя представляет собой
коммутативное кольцо, обозначим его F(P ), с поточечными алгеб-
раическими действиями сложения и умножения. Для двух функций
f, g ∈ F(P ) их сумма и произведение определяются формулами

            (f + g)(c) = f(c) + g(c); (f · g)(c) = f(c) · g(c)   (39.4)

для любого c ∈ P.
  (Выполнение аксиом коммутативного кольца для F(P ) с очевид-
ностью следует из того факта, что при любом фиксированном c они
выполняются, поскольку справедливы в поле коэффициентов P.)
  Однако свойством целостности (36.16) кольцо функций не обла-
дает. (Рассмотрите две функции f и g из R в R; пусть первая из них