Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 365 стр.

§ 39       Полиномиальные функции. Теорема Безу               365

равна нулю при c 6 0 и совпадает с тождественной функцией при
c > 0, а вторая совпадает с тождественной при c < 0 и равна нулю
при c > 0; произведение fg этих функций есть нулевая функция.)
   Вообще говоря, не всякая функция является полиномиальной.
(Для случая поля действительных чисел это должно быть вам хо-
рошо известно из курса анализа. Однако ситуация оказывается со-
вершенно противоположной для конечных полей; см. ниже пример
39.1.) Множество всех полиномиальных функций из поля P в се-
бя обозначим Fpoly (P ). Ниже мы покажем, что это подмножество
является на самом деле подкольцом в F(P ).
   По определению 39.1, имеется отображение

             ν : P [x] → F(P ); f (x) 7→ f; f (x) ∈ P [x],   (39.5)

сопоставляющее многочлену порождаемую этим многочленом поли-
номиальную функцию. Множество Fpoly (P ) ⊆ F(P ), по определе-
нию, является образом отображения (39.5).
  Убедимся теперь, что отображения νc (при любом фиксированном
c ∈ P ) и ν согласованы с алгебраическими операциями (другими
словами, являются гомоморфизмами колец).
  Проверку согласованности проведем для умножения (для сложе-
ния она значительно проще и будет по силам читателям).
  Коэффициенты для произведения h(x) = f (x)g(x) двух многочле-
нов (36.1) и (36.2) задаются формулой (36.10):
                                   X
                          hs =            fk gl .
                                  06k6n
                                  06l6m
                                  k+l=s


  [Здесь мы записали эту формулу чуть иначе, с учетом того факта,
что коэффициенты fk (при k > n) и коэффициенты gl (при l > m)
обращаются в нуль.]
  Поэтому значение многочлена h(x) на элементе c ∈ P определится
формулой
                                       

                            X
                            n+m
                                   X
                                              
                                               s
                   h(c) =               f    
                                           k l с .
                                            g                (39.6)
                                  
                            s=0   06k6n      
                                   06l6m
                                   k+l=s