Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 367 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 39 Полиномиальные функции. Теорема Безу 367
Пример 39.1. Поле P = F
2
содержит два элемента, и поэтому
существуют всего четыре функции из этого поля в себя:
— постоянная функция, тождественно равная нулю: 0 7→ 0; 1 7→ 0;
— еще одна константа, равная единице: 0 7→ 1; 1 7→ 1;
— тождественная функция ε: 0 7→ 0; 1 7→ 1;
— транспозиция элементов поля τ: 0 7→ 1; 1 7→ 0.
Совершенно очевидно, что все эти четыре функции являются по-
линомиальными и соответствуют четырем первым многочленам
0, 1, x, 1 + x из списка примера 36.1. Разберемся с четырьмя мно-
гочленами второй степени x
2
, 1 + x
2
, x + x
2
, 1 + x + x
2
. Первый из
них отвечает функции ε, второй — функции τ, третий — нулевой
константе, четвертый — единичной. (Выясните, каким функциям
соответствуют многочлены третьей степени.)
Замечание 39.2. Подводя итог, констатируем, что аналитическая
точка зрения на многочлены "грубее", а алгебраическая "тоньше".
Различным многочленам могут соответствовать одинаковые функ-
ции.
Однако в случае бесконечного поля коэффициентов ситуация ме-
няется: ниже, в п. 39.4, будет доказано, что над бесконечным полем
равенство многочленов равносильно равенству соответствующих по-
линомиальных функций, т. е. гомоморфизм (39.5) является моно-
морфизмом.
Замечание 39.3. Понятие полиномиальной функции может быть
обобщено в двух направлениях.
Во-первых, многочлен f с коэффициентами f
k
, принадлежащими
полю P, определяет отображение [обозначаемое так же, как и (39.3)]
f : P
0
→ P
0
; c 7→ f(c) =
n
X
k=0
f
k
c
k
; c ∈ P
0
(39.3
0
)
любого поля P
0
, являющегося расширением поля P. (Скажем, мно-
гочлену с действительными коэффициентами соответствует полино-
миальная функция из C в C.)
Во-вторых, без всяких изменений эта конструкция переносится на
многочлены с коэффициентами из коммутативного кольца: всякий
многочлен f(x) ∈ L[x] порождает функции f : L
0
→ L
0
(здесь L —
коммутативное кольцо коэффициентов, а L
0
— произвольное его рас-
ширение).
§ 39        Полиномиальные функции. Теорема Безу                   367

   Пример 39.1. Поле P = F2 содержит два элемента, и поэтому
существуют всего четыре функции из этого поля в себя:
   — постоянная функция, тождественно равная нулю: 0 7→ 0; 1 7→ 0;
   — еще одна константа, равная единице: 0 7→ 1; 1 7→ 1;
   — тождественная функция ε: 0 7→ 0; 1 7→ 1;
   — транспозиция элементов поля τ : 0 7→ 1; 1 7→ 0.
   Совершенно очевидно, что все эти четыре функции являются по-
линомиальными и соответствуют четырем первым многочленам
0, 1, x, 1 + x из списка примера 36.1. Разберемся с четырьмя мно-
гочленами второй степени x2 , 1 + x2 , x + x2 , 1 + x + x2 . Первый из
них отвечает функции ε, второй — функции τ, третий — нулевой
константе, четвертый — единичной. (Выясните, каким функциям
соответствуют многочлены третьей степени.)
  Замечание 39.2. Подводя итог, констатируем, что аналитическая
точка зрения на многочлены "грубее", а алгебраическая "тоньше".
Различным многочленам могут соответствовать одинаковые функ-
ции.
  Однако в случае бесконечного поля коэффициентов ситуация ме-
няется: ниже, в п. 39.4, будет доказано, что над бесконечным полем
равенство многочленов равносильно равенству соответствующих по-
линомиальных функций, т. е. гомоморфизм (39.5) является моно-
морфизмом.
  Замечание 39.3. Понятие полиномиальной функции может быть
обобщено в двух направлениях.
  Во-первых, многочлен f с коэффициентами fk , принадлежащими
полю P, определяет отображение [обозначаемое так же, как и (39.3)]

                                         n
                                         X
                   0     0
               f : P → P ; c 7→ f(c) =         fk ck ; c ∈ P 0   (39.30 )
                                         k=0


любого поля P 0 , являющегося расширением поля P. (Скажем, мно-
гочлену с действительными коэффициентами соответствует полино-
миальная функция из C в C.)
  Во-вторых, без всяких изменений эта конструкция переносится на
многочлены с коэффициентами из коммутативного кольца: всякий
многочлен f (x) ∈ L[x] порождает функции f : L0 → L0 (здесь L —
коммутативное кольцо коэффициентов, а L0 — произвольное его рас-
ширение).

Страницы