Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 369 стр.

§ 39       Полиномиальные функции. Теорема Безу                369

  2. Элемент c является корнем многочлена f (x) тогда и только
тогда, когда двучлен x − c делит данный многочлен:

                            x − c | f (x).                   (39.10)

  Доказательство. 1. Согласно теореме 37.1, многочлен f (x) мож-
но поделить с остатком на двучлен x − c, т. е. представить его в
виде
                    f (x) = (x − c)q(x) + h(x),           (39.11)
где неполное частное q(x) является многочленом степени n − 1, а
остаток h(x) либо равен нулю, либо является многочленом степени
меньшей, чем степень делителя, т. е. многочленом нулевой степе-
ни. Оба случая охватываются формулировкой: остаток h(x) = h0
является скалярным многочленом (константой).
   Итак, имеем равенство многочленов:

                      f (x) = (x − c)q(x) + h0 .            (39.11a)

   Применим к этому равенству гомоморфизм вычисления νc (попро-
сту говоря, подставим в обе части этого равенства x = c). Законность
такого действия объяснялась в предыдущем пункте: отображение νc
согласовано с алгебраическими действиями сложения и умножения.
   Поскольку значение двучлена x − c в точке c равно, очевидно, ну-
лю, то значение всей правой части равенства (39.11a) равно констан-
те h0 . Тем самым доказано равенство h(x) = h0 = f (c), и формула
(39.11a) приобретает вид

                     f (x) = (x − c)q(x) + f (c).            (39.12)

   2. Второе утверждение теоремы (именно его обычно называют
теоремой Безу) очевидным образом вытекает из первого. В самом
деле, тот факт, что c является корнем f (x), означает, по определе-
нию 39.1, что значение f (c) = 0, а это, в силу первого утверждения
теоремы, равносильно обращению в нуль остатка h(x), т. е. делимо-
сти нацело (39.9).
   В этом случае многочлен f (x) разлагается на множители:

                        f (x) = (x − c)q(x),                 (39.13)

один из которых является линейным двучленом, а другой — много-
членом степени n − 1. ¤