Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 370 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

370 Алгебра многочленов Гл. 6
Замечание 39.5. Теорема Безу без всяких оговорок переносится
на случай многочленов над коммутативным (целостным) кольцом.
Дело в том, что делитель x −c является нормализованным много-
членом; его старший коэффициент (равный 1) обратим. Отсюда вы-
текает возможность деления с остатком на x −c над любым кольцом
коэффициентов (см. замечание 37.2). А для доказательства теоремы
Безу больше ничего и не надо.
39.3. Оценка количества (различных) корней многочле-
на. Ненулевой многочлен (над любым полем или целостным коль-
цом) имеет лишь конечное множество корней: их количество не мо-
жет превышать степени многочлена. (Это верно и для многочленов
нулевой степени: они не имеют ни одного корня.)
Точнее, справедливо следующее
Предложение 39.1. Пусть попарно различные элементы
c
1
, c
2
, ..., c
s
поля P являются корнями многочлена f(x) ∈ P [x] степени n.
Тогда s 6 n и имеет место разложение на множители
f(x) = (x − c
1
)(x − c
2
)...(x − c
s
)g(x), (39.14)
где g(x) — многочлен степени n − s.
Доказательство. По теореме Безу, тот факт, что c
1
является кор-
нем f(x), позволяет разложить [см. (39.9)] многочлен f(x) на мно-
жители:
f(x) = (x − c
1
)f
1
(x), (39.15)
где многочлен f
1
(x) имеет степень n − 1 > 0.
Корень c
2
, отличный от первого, при подстановке в (39.15) дает:
0 = (c
2
− c
1
)f
1
(c
2
). (39.16)
Разность c
2
− c
1
является ненулевым элементом поля P ; поэто-
му (39.16) влечет f
1
(c
2
) = 0, а это означает, что c
2
является корнем
f
1
(x). По теореме Безу, многочлен f
1
(x) имеет разложение, анало-
гичное (39.15):
f
1
(x) = (x − c
2
)f
2
(x), (39.17)
где deg(f
2
(x)) = n − 2 > 0.
370                    Алгебра многочленов                       Гл. 6

  Замечание 39.5. Теорема Безу без всяких оговорок переносится
на случай многочленов над коммутативным (целостным) кольцом.
  Дело в том, что делитель x − c является нормализованным много-
членом; его старший коэффициент (равный 1) обратим. Отсюда вы-
текает возможность деления с остатком на x − c над любым кольцом
коэффициентов (см. замечание 37.2). А для доказательства теоремы
Безу больше ничего и не надо.
  39.3. Оценка количества (различных) корней многочле-
на. Ненулевой многочлен (над любым полем или целостным коль-
цом) имеет лишь конечное множество корней: их количество не мо-
жет превышать степени многочлена. (Это верно и для многочленов
нулевой степени: они не имеют ни одного корня.)
  Точнее, справедливо следующее
  Предложение 39.1. Пусть попарно различные элементы

                                c1 , c2 , ..., cs

поля P являются корнями многочлена f (x) ∈ P [x] степени n.
  Тогда s 6 n и имеет место разложение на множители

                 f (x) = (x − c1 )(x − c2 )...(x − cs )g(x),    (39.14)

где g(x) — многочлен степени n − s.
  Доказательство. По теореме Безу, тот факт, что c1 является кор-
нем f (x), позволяет разложить [см. (39.9)] многочлен f (x) на мно-
жители:
                        f (x) = (x − c1 )f1 (x),             (39.15)
где многочлен f1 (x) имеет степень n − 1 > 0.
   Корень c2 , отличный от первого, при подстановке в (39.15) дает:

                           0 = (c2 − c1 )f1 (c2 ).              (39.16)

    Разность c2 − c1 является ненулевым элементом поля P ; поэто-
му (39.16) влечет f1 (c2 ) = 0, а это означает, что c2 является корнем
f1 (x). По теореме Безу, многочлен f1 (x) имеет разложение, анало-
гичное (39.15):
                          f1 (x) = (x − c2 )f2 (x),             (39.17)
где deg(f2 (x)) = n − 2 > 0.

Страницы