Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 372 стр.

372                  Алгебра многочленов                      Гл. 6

действий над многочленами и полиномиальными функциями, это-
му многочлену отвечает функция-разность h = f − g, тождественно
равная нулю: h(c) = f(c) − g(c) = 0 (c ∈ P ).
  Другими словами, всякий элемент поля P является корнем мно-
гочлена h(x). Следовательно, h(x) имеет бесконечно много попарно
различных корней. Для ненулевого многочлена это невозможно (в
силу предложения 39.1). Значит, многочлен h(x) нулевой, и следо-
вательно, f (x) и g(x) являются равными многочленами. ¤

   Замечание 39.7. Предложения 39.1 и 39.2 сохраняют силу для
случая, когда коэффициенты многочленов принадлежат не полю,
а целостному кольцу.



                  § 40. Кратность корня.
          Оценка суммы кратностей корней.
           Алгебраически замкнутые поля.
             Разложимость многочленов
              на линейные множители.
                   Теорема Виета

   40.1. Понятие кратности корня многочлена. То, что кор-
ни бывают кратными, вы знаете с детства. Например, вам не один
раз повторяли, что если дискриминант равен нулю, то квадратное
уравнение "имеет два одинаковых корня" или "имеет корень крат-
ности два". Но без теоремы Безу (в "обычных" курсах школьной
математики о ней обычно не упоминают, хотя в задачах повышен-
ной трудности она необходима) строгое понятие кратности корня не
ввести.
   (Известно анекдотическое определение кратного корня: "Это, ко-
гда подставляешь число в многочлен — получается нуль, опять под-
ставляешь — опять получается нуль и т. д.")
   Ниже приводится серьезное и строгое определение.
   Пусть f (x) — многочлен положительной степени n над полем P ;
c — корень этого многочлена, принадлежащий P. По теореме Безу
(теореме 39.1), двучлен x − c делит f (x). Не исключено, однако, что
некоторая, более высокая степень (x − c)k (где k > 1) также делит
f (x). В связи с этим возникает