Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 373 стр.

§ 40 Кратность корня. Разложение на линейные множители 373

  Определение 40.1. Кратностью корня c для многочлена f (x)
называется наивысшая (натуральная) степень m, такая, что

                         (x − c)m |f (x),                 (40.1)

т. е.
                      f (x) = (x − c)m g(x)               (40.2)
для некоторого многочлена g(x) степени n−m, причем c не является
корнем g(x).
   Замечание 40.1. По определению, кратность корня не превышает
его степени: m 6 n.
   Корни кратности 1 обычно называются простыми или однократ-
ными. В некоторых случаях первый вариант названия оказывается
не очень удачным ввиду возможной путаницы с другим понятием
"простоты" (в смысле неразложимости; см. ниже п. 44.2).
   Ради единообразия допускается словоупотребление "корень крат-
ности нуль", означающее "не корень". С определением 40.1 это со-
гласуется, поскольку (x − c)0 = 1.
   40.2. Оценка суммы кратностей корней многочлена. Как
известно из предложения 39.1, количество корней многочлена f (x)
не превышает его степени n. Пусть

                          c1 , c2 , ..., cs               (40.3)

— список всех попарно различных корней многочлена f (x), принад-
лежащих P.
  Каждому из этих корней приписывается натуральное число — его
кратность; так получается список натуральных чисел

                        m1 , m2 , ..., ms .               (40.4)

   Рассмотрим сумму кратностей всех корней:
                                 s
                                 X
                            0
                          m =          mk .               (40.5)
                                 k=1


  (Многочлен может вообще не иметь корней, тогда принято счи-
тать, что m0 = 0.)