Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 371 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 39 Полиномиальные функции. Теорема Безу 371
Для исходного многочлена, в силу (39.17), в (39.15) будем иметь:
f(x) = (x − c
1
)(x − c
2
)f
2
(x). (39.18)
Подставляя третий корень c
3
в (39.18), получим:
0 = (c
3
− c
1
)(с
3
− с
2
)f
2
(c
3
). (39.19)
Снова, сокращая на ненулевой скаляр, убеждаемся в том, что c
3
является корнем многочлена f
2
(x); и т. д.
В конце концов мы придем к разложению, содержащему s ско-
бок (линейных двучленов), соответствующих s корням, и многочлен
f
s
(x), который мы переобозначим в g(x). Степень n −s этого много-
члена обязана быть неотрицательным числом, следовательно, долж-
но выполняться неравенство s 6 n. ¤
Замечание 39.6. Если s = n, то многочлен g(x) должен иметь
нулевую степень, т. е. будет скаляром g(x) = g
0
.
Мысленно раскройте скобки и приравняйте коэффициенты при
старшей степени x
n
. Вы убедитесь в том, что скаляр g
0
будет совпа-
дать со старшим коэффициентом многочлена f(x).
Предположим, что данный многочлен записан по убыванию степе-
ней [см. (36.18)] и его старший коэффициент обозначается a
0
. Тогда
разложение (38.14) примет вид:
f(x) = a
0
(x − c
1
)(x − c
2
)...(x − c
n
). (39.20)
39.4. Многочлены и полиномиальные функции над бес-
конечным полем. Рассмотрим кольцо P [x] многочленов над бес-
конечным полем P и кольцо полиномиальных функций F
poly
. Рав-
ным многочленам по построению отвечают равные функции. Как
подчеркивалось в п. 39.1, обратное, вообще говоря, не верно.
Обратное становится верным, если поле коэффициентов P явля-
ется бесконечным. Точнее, справедливо следующее
Предложение 39.2. Пусть поле P бесконечно. Тогда гомомор-
физм колец (39.5) является мономорфизмом, т. е. различным много-
членам отвечают различные функции.
Доказательство. Пусть многочленам f(x), g(x) ∈ P [x] соответ-
ствуют функции f, g ∈ F
poly
. Предположим f = g, т. е. для любо-
го элемента c ∈ P справедливо f(c) = g(c). Рассмотрим многочлен-
разность h(x) = f(x) −g(x). В силу согласованности алгебраических
§ 39        Полиномиальные функции. Теорема Безу               371

   Для исходного многочлена, в силу (39.17), в (39.15) будем иметь:

                    f (x) = (x − c1 )(x − c2 )f2 (x).        (39.18)

   Подставляя третий корень c3 в (39.18), получим:

                    0 = (c3 − c1 )(с3 − с2 )f2 (c3 ).        (39.19)

    Снова, сокращая на ненулевой скаляр, убеждаемся в том, что c3
является корнем многочлена f2 (x); и т. д.
    В конце концов мы придем к разложению, содержащему s ско-
бок (линейных двучленов), соответствующих s корням, и многочлен
fs (x), который мы переобозначим в g(x). Степень n − s этого много-
члена обязана быть неотрицательным числом, следовательно, долж-
но выполняться неравенство s 6 n. ¤
   Замечание 39.6. Если s = n, то многочлен g(x) должен иметь
нулевую степень, т. е. будет скаляром g(x) = g0 .
   Мысленно раскройте скобки и приравняйте коэффициенты при
старшей степени xn . Вы убедитесь в том, что скаляр g0 будет совпа-
дать со старшим коэффициентом многочлена f (x).
   Предположим, что данный многочлен записан по убыванию степе-
ней [см. (36.18)] и его старший коэффициент обозначается a0 . Тогда
разложение (38.14) примет вид:

                f (x) = a0 (x − c1 )(x − c2 )...(x − cn ).   (39.20)

   39.4. Многочлены и полиномиальные функции над бес-
конечным полем. Рассмотрим кольцо P [x] многочленов над бес-
конечным полем P и кольцо полиномиальных функций Fpoly . Рав-
ным многочленам по построению отвечают равные функции. Как
подчеркивалось в п. 39.1, обратное, вообще говоря, не верно.
   Обратное становится верным, если поле коэффициентов P явля-
ется бесконечным. Точнее, справедливо следующее
  Предложение 39.2. Пусть поле P бесконечно. Тогда гомомор-
физм колец (39.5) является мономорфизмом, т. е. различным много-
членам отвечают различные функции.
   Доказательство. Пусть многочленам f (x), g(x) ∈ P [x] соответ-
ствуют функции f, g ∈ Fpoly . Предположим f = g, т. е. для любо-
го элемента c ∈ P справедливо f(c) = g(c). Рассмотрим многочлен-
разность h(x) = f (x) − g(x). В силу согласованности алгебраических

Страницы