Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 368 стр.

368                  Алгебра многочленов                      Гл. 6

  Все сказанное о равенстве многочленов и равенстве соответству-
ющих полиномиальных функций сохраняет силу и в более общей
ситуации многочленов над кольцом.
  39.2. Корни многочленов и теорема Безу
  Определение 39.2. Корнем многочлена f (x) ∈ P [x] называется
корень соответствующей полиномиальной функции f : P → P, т. е.
такой элемент c ∈ P, что значение
                              f(c) = 0.                       (39.9)

   Замечание 39.4. В соответствии с "вольным духом" замечания
39.1, в дальнейшем мы, не заботясь о различии шрифтов, будем пи-
сать f (c) = 0 и вполне по-школьному говорить, что корень много-
члена — это такой элемент, принадлежащий полю коэффициентов,
при подстановке которого в многочлен (вместо переменной) получа-
ется значение, равное нулю. Более того, мы будем рассматривать
корни многочлена не только в поле коэффициентов P, но и в его
расширениях (см. замечание 39.3).
   Для многочленов над коммутативным кольцом также можно изу-
чать корни (как в кольце коэффициентов, так и в любом расширении
этого кольца). Например, многочлен f (x) = x2 + 1 можно считать
заданным над полем рациональных чисел Q или над кольцом целых
чисел Z. Но ни в Z, ни в Q, ни даже в R этот многочлен корней не
имеет, тогда как в C у него существуют два корня ±i.
   Кстати, этот многочлен можно (при надлежащей договоренности
о том, что 0 и 1 суть классы вычетов по модулю 2) рассматривать и
над F2 . В этом поле он будет иметь один корень, равный 1 (точнее
говоря, два одинаковых корня, поскольку x2 + 1 ≡ (x + 1)2 mod 2 ).
(Попробуйте найти корни того же многочлена в поле F3 .)
   Ни в каком поле (кольце) не имеют корней многочлены нулевой
степени (ненулевые константы). Напротив, корнями нулевого мно-
гочлена являются все элементы рассматриваемого поля (кольца).
  Пусть f (x) есть многочлен степени n > 1 над полем P. Его корни
оказываются связанными с его делителями степени 1.
  Точнее, справедлива следующая (простая, но знаменитая)
   Теорема 39.1 (теорема Безу). 1. Остаток от деления многочлена
f (x) положительной степени n над полем P на многочлен первой
степени (двучлен) x − c, где c ∈ P , равен значению f (c) многочлена
f (x) в точке c.