Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 366 стр.

366                  Алгебра многочленов                     Гл. 6

   Теперь перемножим значения в точке c для многочленов f (x) и
g(x) (умножение будет производиться в поле P с использованием
аксиомы дистрибутивности):
                                                      
               Ã n        !Ã m       ! n+m            
                X           X           X X            s
    f(c)g(c) =      fk ck       gl cl =           f   
                                                    k l с .
                                                     g       (39.7)
                                            
                k=0         l=0         s=0 06k6n     
                                             06l6m
                                             k+l=s

  Правые части (39.6) и (39.7) совпадают, следовательно,
                          h(c) = f(c)g(c).                   (39.8)
   Формула (39.8) выражает согласованность отображения νc с умно-
жением. Поскольку она имеет место для любого c ∈ P, то и отоб-
ражение ν оказывается согласованным с умножением: произведе-
нию многочленов f (x)g(x) отвечает произведение f g соответствую-
щих полиномиальных функций.
   Итак, всякое отображение вычисления (39.1) является гомомор-
физмом кольца многочленов в поле коэффициентов. (Легко видеть,
что оно является эпиморфизмом: достаточно применить его к по-
стоянным многочленам.)
   Отображение (39.5) является гомоморфизмом (вообще говоря, не
эпиморфизмом) кольца многочленов в кольцо функций (на подколь-
цо полиномиальных функций).
   Образ Fpoly (P ) гомоморфизма колец ν является подкольцом, т. е.
устойчив относительно взятия сумм, разностей и произведений, в
кольце F(P ).
   Сейчас мы убедимся, что, вообще говоря, гомоморфизм (39.5) не
является мономорфизмом, т. е. инъективность для этого отображе-
ния может не иметь места. Выражаясь конкретнее, мы установим,
что различным многочленам могут отвечать одинаковые полиноми-
альные функции.
   На самом деле это совершенно ясно из общих "перечислительных"
соображений. Если поле P является конечным (имеет, скажем, q
элементов), то существует в точности q q различных функций из P в
P (любой из q элементов поля может отображаться опять же в любой
из q элементов). В то же время многочленов над любым полем P
всегда бесконечно много.
   (Просмотрите еще раз пример 36.1; сейчас он получит продолже-
ние и развитие.)