Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 376 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

376 Алгебра многочленов Гл. 6
корней у многочлена x
2
+1 побудило нас расширить поле R, добавив
к нему мнимую единицу.)
Основная теорема алгебры (теорема 35.1) утверждает в точности
следующее:
п о л е C а л г е б р а и ч е с к и з а м к н у т о .
40.4. Разложение многочлена над алгебраически замкну-
тым полем на линейные множители. Рассмотрим многочлен,
записанный в виде (36.18):
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ... + a
n−1
x + a
n
.
Предложение 40.2. Всякий многочлен (36.18) положительной
степени n над алгебраически замкнутым полем P имеет n корней
(с учетом их кратностей) и разлагается в произведение n линейных
сомножителей:
f(x) = a
0
(x − c
1
)
m
1
(x − c
2
)
m
2
...(x − c
s
)
m
s
, (40.10)
где c
1
, c
2
, ..., c
s
— все его (попарно различные) корни; m
1
, m
2
, ..., m
s
— кратности этих корней; m
1
+ m
2
+ ... + m
s
= n.
Доказательство. По определению 40.2, список корней многочле-
на f(x) не пуст. Согласно предложению 40.1, этот многочлен разла-
гается на множители по формуле (40.7).
Фигурирующий в указанной формуле многочлен g(x) не имеет
корней в поле P, следовательно, в силу алгебраической замкнутости
P, степень этого многочлена может быть только нулевой, т. е. m
0
= n
и g(x) является ненулевым скаляром: g(x) = g
0
.
Рассуждая в точности так же, как и в замечании 39.6, мы придем
к выводу, что g
0
= a
0
. Требуемое разложение (40.10) получено. ¤
Пример 40.1. Разложим (элементарными средствами, с помо-
щью группировки) многочлен
f(x) = x
5
− x
4
+ 2x
3
− 2x
2
− 8x + 8
на линейные множители:
f(x) = x
4
(x − 1) + 2x
2
(x − 1) − 8(x − 1) =
= (x − 1)(x
4
+ 2x
2
− 8) = (x − 1)(x
4
+ 4x
2
− 2x
2
− 8) =
= (x − 1)(x
2
(x
2
+ 4) − 2(x
2
+ 4)) =
= (x − 1)(x
2
− 2)(x
2
+ 4) [в поле Q];
= (x − 1)(x −
√
2)(x +
√
2)(x
2
+ 4) [в поле R];
= (x − 1)(x −
√
2)(x +
√
2)(x − 2i)(x + 2i) [в поле C].
376                      Алгебра многочленов                         Гл. 6

корней у многочлена x2 + 1 побудило нас расширить поле R, добавив
к нему мнимую единицу.)
   Основная теорема алгебры (теорема 35.1) утверждает в точности
следующее:
         поле C алгебраически замкнуто.

  40.4. Разложение многочлена над алгебраически замкну-
тым полем на линейные множители. Рассмотрим многочлен,
записанный в виде (36.18):
                f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an .
   Предложение 40.2. Всякий многочлен (36.18) положительной
степени n над алгебраически замкнутым полем P имеет n корней
(с учетом их кратностей) и разлагается в произведение n линейных
сомножителей:
           f (x) = a0 (x − c1 )m1 (x − c2 )m2 ...(x − cs )ms ,      (40.10)
где c1 , c2 , ..., cs — все его (попарно различные) корни; m1 , m2 , ..., ms
— кратности этих корней; m1 + m2 + ... + ms = n.
   Доказательство. По определению 40.2, список корней многочле-
на f (x) не пуст. Согласно предложению 40.1, этот многочлен разла-
гается на множители по формуле (40.7).
   Фигурирующий в указанной формуле многочлен g(x) не имеет
корней в поле P, следовательно, в силу алгебраической замкнутости
P, степень этого многочлена может быть только нулевой, т. е. m0 = n
и g(x) является ненулевым скаляром: g(x) = g0 .
   Рассуждая в точности так же, как и в замечании 39.6, мы придем
к выводу, что g0 = a0 . Требуемое разложение (40.10) получено. ¤
  Пример 40.1. Разложим (элементарными средствами, с помо-
щью группировки) многочлен
                   f (x) = x5 − x4 + 2x3 − 2x2 − 8x + 8
на линейные множители:
    f (x) = x4 (x − 1) + 2x2 (x − 1) − 8(x − 1) =
          = (x − 1)(x4 + 2x2 − 8) = (x − 1)(x4 + 4x2 − 2x2 − 8) =
          = (x − 1)(x2 (x2 + 4) − 2(x2 + 4)) =
          = (x − 1)(x2 − 2)(x2 + 4) [в поле Q];
                        √        √
          = (x − 1)(x − 2)(x + 2)(x2 + 4) [в поле R];
                        √        √
          = (x − 1)(x − 2)(x + 2)(x − 2i)(x + 2i) [в поле C].

Страницы