Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 377 стр.

§ 40 Кратность корня. Разложение на линейные множители 377

    Замечание 40.4. В курсе общей алгебры доказывается, что вся-
кое поле P можно вложить в алгебраически замкнутое поле P 0 , яв-
ляющееся алгебраически замкнутым расширением данного поля P.
Среди алгебраически замкнутых расширений P 0 существует в опре-
деленном смысле "наименьшее" поле P , которое вкладывается в лю-
бое алгебраически замкнутое расширение данного поля. Поле P на-
зывается алгебраическим замыканием поля P.
    (Точный смысл предыдущих высказываний требует довольно про-
странных разъяснений, которые были бы здесь не уместны и не свое-
временны. При построении поля комплексных чисел, являющегося
алгебраическим замыканием поля действительных чисел, мы уже
говорили о "минимальности" расширения R ⊂ C, но в несколько
ином смысле; см. замечание 31.3.)
    Только что был упомянут пример алгебраического замыкания:
R = C. Еще один важнейший пример — алгебраическое замыка-
ние поля рациональных чисел: Q = A. Поле A называется полем
алгебраических чисел; оно состоит из всех комплексных чисел, яв-
ляющихся корнями многочленов с рациональными коэффициентами
(или, что достаточно, многочленов с√целыми коэффициентами). (Та-
кими p числами являются,
                  p       скажем: 2 — корень многочлена x2 − 2;
 √          √          √
( 8 2)( 2 + 2 + i 2 − 2)/2 — корень многочлена x8 + 2 и т. п.)
    Всякий многочлен положительной степени с коэффициентами из
произвольного поля P можно разложить на линейные множители
[по формуле (40.10)] над полем P .
   40.5. Вычисление корней многочленов и разложение мно-
гочленов на множители средствами системы Maple. Мы уже
встречались выше с отдельными приемами вычисления корней мно-
гочленов и разложения многочленов на множители в системе Maple.
Сейчас мы несколько более систематично изложим сведения об этих
Maple-средствах.
  Пример 40.2. Введем следующий многочлен:
  > g := 4∗xˆ 4 + 12∗xˆ 3 + 5∗xˆ 2 − 16∗x + 5;

                 g := 4x4 + 12x3 + 5x2 − 16x + 5

  Применим функцию roots (= корни), по умолчанию настроенную
на отыскание корней в наименьшем из полей, содержащих коэффи-
циенты заданного многочлена (в данном случае этим полем будет
поле рациональных чисел), и сразу же — расширенную версию этой