Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

106 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Вообще, для любого линейного подпространства W 6 V опреде-
лен линейный оператор
α
W,V
: W −→ V ; α
W,V
(x) = x; x ∈ W, (9.35)
сопоставляющий вектору x из подпространства W тот же самый век-
тор x, но рассматриваемый как элемент пространства V. Этот опе-
ратор является, очевидно, мономорфизмом.
Беря в качестве W каждое из слагаемых W
i
в полной прямой
сумме (9.33), мы получим семейство операторов вложения
α
i
= α
W
i
,V
: W
i
−→ V ; α
i
(y
i
) = y
i
; y
i
∈ W
i
(i = 1, ..., s). (9.36)
Имеются также встречные отображения — операторы проекти-
рования
π
i
: V −→ W
i
; π
i
(x) = y
i
; x ∈ V (i = 1, ..., s), (9.37)
сопоставляющие произвольному вектору x из прямой суммы i-ю ком-
поненту y
i
в его [однозначно определенном; см. формулу (9.2)] раз-
ложении x =
P
s
i=1
y
i
. (Докажите линейность и эпиморфность опе-
раторов π
i
.)
Каждый оператор π
i
является левым обратным для соответству-
ющего оператора α
i
, т. е.
π
i
◦ α
i
= ε
W
i
; i = 1, ..., s. (9.38)
Другими словами, вектор из подпространства-слагаемого можно
вложить в прямую сумму, а затем — спроектировать на то же самое
подпространство; при этом мы вернемся к исходному вектору.
(Если хотите вспомнить терминологию, связанную с левыми, пра-
выми и двусторонними обратными к линейным отображениям, то
просмотрите еще раз § 15 в пособии [A
1
].)
Правым обратным для α
i
оператор π
i
не является (если, конечно,
число слагаемых s > 1). Композиция
ρ
i
= α
i
◦ π
i
: V −→ V ; ρ
i
(x) = y
i
; x ∈ V (9.39)
является линейным эндоморфизмом пространства V , сопоставляю-
щим произвольному вектору x его i-ю компоненту, но рассматрива-
емую [в отличие от формулы (9.37)] как элемент пространства V.
106       Линейные пространства. Базисы и размерности                    Гл. 1

  Вообще, для любого линейного подпространства W 6 V опреде-
лен линейный оператор

                   αW,V : W −→ V ; αW,V (x) = x; x ∈ W,                  (9.35)

сопоставляющий вектору x из подпространства W тот же самый век-
тор x, но рассматриваемый как элемент пространства V. Этот опе-
ратор является, очевидно, мономорфизмом.
  Беря в качестве W каждое из слагаемых Wi в полной прямой
сумме (9.33), мы получим семейство операторов вложения

      αi = αWi ,V : Wi −→ V ; αi (yi ) = yi ; yi ∈ Wi (i = 1, ..., s).   (9.36)

  Имеются также встречные отображения — операторы проекти-
рования

               πi : V −→ Wi ; πi (x) = yi ; x ∈ V (i = 1, ..., s),       (9.37)

сопоставляющие произвольному вектору x из прямой суммы i-ю ком-
поненту yi в его
              Ps[однозначно определенном; см. формулу (9.2)] раз-
ложении x = i=1 yi . (Докажите линейность и эпиморфность опе-
раторов πi .)
  Каждый оператор πi является левым обратным для соответству-
ющего оператора αi , т. е.

                           πi ◦ αi = εWi ; i = 1, ..., s.                (9.38)

  Другими словами, вектор из подпространства-слагаемого можно
вложить в прямую сумму, а затем — спроектировать на то же самое
подпространство; при этом мы вернемся к исходному вектору.
  (Если хотите вспомнить терминологию, связанную с левыми, пра-
выми и двусторонними обратными к линейным отображениям, то
просмотрите еще раз § 15 в пособии [A1 ].)
  Правым обратным для αi оператор πi не является (если, конечно,
число слагаемых s > 1). Композиция

                  ρi = αi ◦ πi : V −→ V ; ρi (x) = yi ; x ∈ V            (9.39)

является линейным эндоморфизмом пространства V , сопоставляю-
щим произвольному вектору x его i-ю компоненту, но рассматрива-
емую [в отличие от формулы (9.37)] как элемент пространства V.

Страницы