Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

104 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Симметричность (B
t
= B) матрицы B и антисимметричность
(C
t
= −C) матрицы C доказываются элементарно, с помощью за-
конов алгебры матриц. Множитель
1
2
в формулах (9.24) и (9.25) ни-
как не отражается на факте симметричности (антисимметричности)
соответствующих матриц. Он нужен для обеспечения равенства
A = B + C, (9.26)
благодаря которому можно утверждать, что
L(n, P ) = L
s
(n, P ) ⊕L
a
(n, P ). (9.27)
Итак, установлено, что подпространства симметрических и анти-
симметрических матриц являются взаимно дополнительными в про-
странстве всех квадратных матриц.
Полезно определить базисы, приспособленные к прямой сумме
(9.27). Согласно примеру 4.1, естественный базис E в L(n, P ) состав-
ляют n
2
матриц E
ij
(i, j = 1, ..., n). Среди них есть n диагональных
(и, следовательно, симметрических) матриц
E
ii
; i = 1, ..., n. (9.28)
Если i 6= j, то матрица E
ij
не является ни симметрической, ни ан-
тисимметрической. Предположим, что i < j и подвергнем каждую
из C
2
n
матриц такого вида симметризации (9.24) и антисимметриза-
ции (9.25). Получим C
2
n
симметрических матриц
F
ij
=
1
2
(E
ij
+ E
ji
); 1 6 i < j 6 n (9.29)
и столько же антисимметрических матриц
G
ij
=
1
2
(E
ij
− E
ji
); 1 6 i < j 6 n. (9.30)
Автор надеется, что для читателей будет несложным упражнени-
ем доказать, что матрицы видов (9.28) и (9.29) составляют базис E
s
(из n + C
2
n
=
n(n+1)
2
элементов) в подпространстве L
s
(n, P ), а мат-
рицы вида (9.30) составляют базис E
a
(из C
2
n
=
n(n−1)
2
элементов)
в подпространстве L
a
(n, P ). Так что подпространства-слагаемые в
(9.27) имеют размерности:
dim(L
s
(n, P )) =
n(n + 1)
2
; dim(L
a
(n, P )) =
n(n − 1)
2
. (9.31)
104      Линейные пространства. Базисы и размерности                Гл. 1

   Симметричность (B t = B) матрицы B и антисимметричность
(C t = −C) матрицы C доказываются элементарно, с помощью за-
конов алгебры матриц. Множитель 12 в формулах (9.24) и (9.25) ни-
как не отражается на факте симметричности (антисимметричности)
соответствующих матриц. Он нужен для обеспечения равенства

                                 A = B + C,                         (9.26)

благодаря которому можно утверждать, что

                     L(n, P ) = Ls (n, P ) ⊕ La (n, P ).            (9.27)

   Итак, установлено, что подпространства симметрических и анти-
симметрических матриц являются взаимно дополнительными в про-
странстве всех квадратных матриц.
   Полезно определить базисы, приспособленные к прямой сумме
(9.27). Согласно примеру 4.1, естественный базис E в L(n, P ) состав-
ляют n2 матриц Eij (i, j = 1, ..., n). Среди них есть n диагональных
(и, следовательно, симметрических) матриц

                               Eii ; i = 1, ..., n.                 (9.28)

   Если i 6= j, то матрица Eij не является ни симметрической, ни ан-
тисимметрической. Предположим, что i < j и подвергнем каждую
из Cn2 матриц такого вида симметризации (9.24) и антисимметриза-
ции (9.25). Получим Cn2 симметрических матриц
                     1
                   Fij =
                       (Eij + Eji ); 1 6 i < j 6 n                  (9.29)
                     2
и столько же антисимметрических матриц
                            1
                   Gij =      (Eij − Eji ); 1 6 i < j 6 n.          (9.30)
                            2
   Автор надеется, что для читателей будет несложным упражнени-
ем доказать, что матрицы видов (9.28) и (9.29) составляют базис Es
(из n + Cn2 = n(n+1)
                 2   элементов) в подпространстве Ls (n, P ), а мат-
рицы вида (9.30) составляют базис Ea (из Cn2 = n(n−1)
                                                    2   элементов)
в подпространстве La (n, P ). Так что подпространства-слагаемые в
(9.27) имеют размерности:

                          n(n + 1)                     n(n − 1)
      dim(Ls (n, P )) =            ; dim(La (n, P )) =          .   (9.31)
                             2                            2

Страницы