Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 9 Прямые суммы и прямые дополнения 103
L
a
(n, P ) = {A ∈ L(n, P ) : A
t
= −A }. (9.22)
Проделайте простейшее упражнение на законы матричной алгеб-
ры (связанные с операцией транспонирования): докажите, что (9.21)
и (9.22) являются линейными подпространствами в L(n, P ).
Введем дополнительное предположение: будем считать, что поле
P имеет характеристику, отличную от 2 (см. [A
1
, п. 47.1]). Это
означает, что в поле P
2 · 1 = 1 + 1 6= 0. (9.23)
(Выражаясь не совсем строго, можно сказать, что поле P содер-
жит отличный от нуля элемент 2
def
== 2 · 1 = 1 + 1. Как следствие ак-
сиомы 9 , получим тогда, что в поле P существует элемент 2
−1
=
1
2
.
Не все поля таковы. В п. 1.7 мы как раз работали с полем F
2
, в
котором — наоборот: "2 = 0" или, что равносильно, "−1 = 1".)
В предположении (9.23) можно доказать независимость подпро-
странств (9.21) и (9.22). В самом деле, если матрица A принадле-
жит обоим этим подпространствам, то она удовлетворяет равенству
A = −A, которое можно переписать в виде A + A = O, или, с учетом
выкладки
A + A = 1 · A + 1 · A = (1 + 1) · A = 2 · A,
в равносильном виде 2 · A = O. Последнее равенство можно домно-
жить на элемент
1
2
∈ P [существующий в силу предположения (9.23)]
и перейти к равносильному равенству A = O. Следовательно, рас-
сматриваемые подпространства имеют нулевое пересечение.
Условие (9.23) позволяет также доказать, что сумма линейных
подпространств (9.21) и (9.22) совпадает со всем пространством ква-
дратных матриц. Действительно, любую матрицу A ∈ L(n, P ) мож-
но симметризовать, сопоставив ей матрицу
B =
1
2
(A + A
t
) ∈ L
s
(n, P ), (9.24)
и антисимметризовать, сопоставив матрицу
C =
1
2
(A − A
t
) ∈ L
a
(n, P ). (9.25)
§9             Прямые суммы и прямые дополнения                103

                La (n, P ) = { A ∈ L(n, P ) : At = −A }.      (9.22)

   Проделайте простейшее упражнение на законы матричной алгеб-
ры (связанные с операцией транспонирования): докажите, что (9.21)
и (9.22) являются линейными подпространствами в L(n, P ).
   Введем дополнительное предположение: будем считать, что поле
P имеет характеристику, отличную от 2 (см. [A1 , п. 47.1]). Это
означает, что в поле P

                            2 · 1 = 1 + 1 6= 0.               (9.23)

     (Выражаясь не совсем строго, можно сказать, что поле P содер-
                                     def
жит отличный от нуля элемент 2 == 2 · 1 = 1 + 1. Как следствие ак-
сиомы 9 , получим тогда, что в поле P существует элемент 2−1 = 21 .
Не все поля таковы. В п. 1.7 мы как раз работали с полем F2 , в
котором — наоборот: "2 = 0" или, что равносильно, "−1 = 1".)
  В предположении (9.23) можно доказать независимость подпро-
странств (9.21) и (9.22). В самом деле, если матрица A принадле-
жит обоим этим подпространствам, то она удовлетворяет равенству
A = −A, которое можно переписать в виде A + A = O, или, с учетом
выкладки

               A + A = 1 · A + 1 · A = (1 + 1) · A = 2 · A,

в равносильном виде 2 · A = O. Последнее равенство можно домно-
жить на элемент 12 ∈ P [существующий в силу предположения (9.23)]
и перейти к равносильному равенству A = O. Следовательно, рас-
сматриваемые подпространства имеют нулевое пересечение.
   Условие (9.23) позволяет также доказать, что сумма линейных
подпространств (9.21) и (9.22) совпадает со всем пространством ква-
дратных матриц. Действительно, любую матрицу A ∈ L(n, P ) мож-
но симметризовать, сопоставив ей матрицу

                            1
                      B=      (A + At ) ∈ Ls (n, P ),         (9.24)
                            2
и антисимметризовать, сопоставив матрицу

                            1
                      C=      (A − At ) ∈ La (n, P ).         (9.25)
                            2

Страницы