Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 101 стр.

§9            Прямые суммы и прямые дополнения                         101

факт можно усмотреть по ходу доказательства предложения 9.4; по-
пытайтесь сделать это самостоятельно.)
  Представьте себе также простейшую ситуацию координатной пло-
скости V = R2 (или P 2 , над любым полем P ): одномерными под-
пространствами в V являются прямые W , проходящие через начало
координат (и только они). Прямым дополнением к W будет любая
прямая W 0 , отличная от W .
   Предложение 9.4. Пусть V — линейное пространство размерно-
сти n над полем P , а W — произвольное линейное подпространство
(размерности k) в пространстве V. Тогда
   1) существует прямое дополнение W 0 для подпространства W,
причем размерность любого прямого дополнения равна коразмер-
ности данного пространства:

                    dim(W 0 ) = codim(W ) = n − k;                    (9.16)

более того,
  2) для любого подпространства U 6 V, независимого с W , т. е.
такого, что
                         W ∩ U = O,                     (9.17)
существует прямое дополнение к W , содержащее U.
     Доказательство. 1. Выберем произвольный базис

                             B = [ b1 , b2 , ... , bk ]               (9.18)

в подпространстве W и продолжим (в соответствии с предложени-
ем 5.5) этот базис до базиса

                  D = [ b1 , b2 , ... , bk , c1 , c2 , ... , cn−k ]   (9.19)

в пространстве V. Обозначим

                                   W 0 = hCi

линейную оболочку системы дополнительных векторов

                           C = [ c1 , c2 , ... , cn−k ].              (9.20)

  С.в. (9.20) является базисом подпространства W 0 , которое, таким
образом, имеет размерность, равную n − k. Понятие коразмерности