Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

100 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
ве V . Тогда прямизна этой суммы равносильна равенству
dim(W ) =
s
X
i=1
dim(W
i
). (9.14)
Доказательство. 1. Пусть сумма (9.1) является прямой. По вто-
рому утверждению предложения 9.2, в W существует приспособлен-
ный к прямой сумме базис, из построения которого ясно, что его
мощность равна сумме мощностей базисов в слагаемых, т. е. спра-
ведлива формула (9.14).
2. Обратно, предположим, что выполнено условие (9.14). Дока-
жем, что сумма (9.1) является прямой. Снова выберем в каждом из
слагаемых W
i
некоторый базис B
i
и составим с.в. (9.9), которая (см.
замечание 8.4) является порождающей для W. Но, в силу (9.14), эта
порождающая с.в. содержит ровно столько векторов, сколько долж-
но быть в базисе. Значит, она является базисом в W (см. предло-
жение 5.4). Более того, этот базис разбит в объединение [вида (9.9)]
попарно непересекающихся подсистем (базисов в W
i
). По первому
утверждению предложения 9.2, сумма (9.1) является прямой. ¤
9.2. Прямые дополнения к линейному подпространству.
Рассмотрим снова линейное пространство V над полем P и линейное
подпространство W 6 V.
Определение 9.3. Линейное подпространство W
0
6 V называ-
ется прямым дополнением к подпространству W , если
W ⊕ W
0
= V. (9.15)
Замечание 9.4. Прокомментируем данное выше определение. Яс-
но, что если W
0
является прямым дополнением к W, то и W явля-
ется прямым дополнением к W
0
. Таким образом, можно говорить о
двух взаимно дополнительных подпространствах (в заданном про-
странстве). Взаимно дополнительными в пространстве V являют-
ся тривиальные подпространства V и O. В случае конечномерно-
го пространства V существование прямого дополнения для любого
подпространства W будет доказано ниже, в предложении 9.4.
Кроме тривиального случая V ⊕ O = V , всегда существует более
одного прямого дополнения к заданному подпространству. (Этот
100     Линейные пространства. Базисы и размерности           Гл. 1

ве V . Тогда прямизна этой суммы равносильна равенству
                                  s
                                  X
                      dim(W ) =         dim(Wi ).             (9.14)
                                  i=1


  Доказательство. 1. Пусть сумма (9.1) является прямой. По вто-
рому утверждению предложения 9.2, в W существует приспособлен-
ный к прямой сумме базис, из построения которого ясно, что его
мощность равна сумме мощностей базисов в слагаемых, т. е. спра-
ведлива формула (9.14).
  2. Обратно, предположим, что выполнено условие (9.14). Дока-
жем, что сумма (9.1) является прямой. Снова выберем в каждом из
слагаемых Wi некоторый базис Bi и составим с.в. (9.9), которая (см.
замечание 8.4) является порождающей для W. Но, в силу (9.14), эта
порождающая с.в. содержит ровно столько векторов, сколько долж-
но быть в базисе. Значит, она является базисом в W (см. предло-
жение 5.4). Более того, этот базис разбит в объединение [вида (9.9)]
попарно непересекающихся подсистем (базисов в Wi ). По первому
утверждению предложения 9.2, сумма (9.1) является прямой. ¤


  9.2. Прямые дополнения к линейному подпространству.
Рассмотрим снова линейное пространство V над полем P и линейное
подпространство W 6 V.
   Определение 9.3. Линейное подпространство W 0 6 V называ-
ется прямым дополнением к подпространству W , если

                           W ⊕ W 0 = V.                       (9.15)


   Замечание 9.4. Прокомментируем данное выше определение. Яс-
но, что если W 0 является прямым дополнением к W, то и W явля-
ется прямым дополнением к W 0 . Таким образом, можно говорить о
двух взаимно дополнительных подпространствах (в заданном про-
странстве). Взаимно дополнительными в пространстве V являют-
ся тривиальные подпространства V и O. В случае конечномерно-
го пространства V существование прямого дополнения для любого
подпространства W будет доказано ниже, в предложении 9.4.
   Кроме тривиального случая V ⊕ O = V , всегда существует более
одного прямого дополнения к заданному подпространству. (Этот

Страницы