Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

98 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
значением левой и правой частей (9.8), принадлежит пересечению
W
j
∩
c
W
j
, которое, по предположению, должно быть нулевым. Сле-
довательно, y
j
= y
0
j
. Номер j в предыдущем рассуждении был про-
извольным, так что разложения (9.2) и (9.2
0
) идентичны, что и тре-
бовалось. ¤
Перейдем теперь к рассмотрению конечномерных пространств.
Пока нам достаточно будет предполагать, что конечномерным яв-
ляется подпространство W — сумма для семейства подпространств
{W
i
}
s
i=1
. Следующее предложение играет вспомогательную роль и
будет использовано при выводе второго критерия прямизны суммы.
Предложение 9.2. Пусть W является конечномерным линей-
ным подпространством в линейном пространстве V и dim(W ) = n.
1. Предположим, что базис B этого подпространства разбит в объ-
единение
B = [ B
1
, B
2
, ... , B
s
] (9.9)
попарно не пересекающихся подсистем векторов, причем мощность
системы B
i
равняется n
i
, где
s
X
i=1
n
i
= n. (9.10)
Рассмотрим линейные подпространства
W
i
= hB
i
i 6 W ; dim(W
i
) = n
i
; i = 1, ..., s. (9.11)
Тогда
W =
s
M
i=1
W
i
. (9.12)
2. Обратно, предположим, что подпространство W разбито в пря-
мую сумму (9.12). Тогда в W существует базис вида (9.9), где систе-
мы векторов B
i
попарно не пересекаются и каждая из них является
базисом в соответствующем W
i
.
Доказательство. 1. Рассмотрим некоторое разбиение (9.9) неко-
торого базиса в W. Ясно, что W =
P
s
i=1
W
i
. (Действительно, всякий
вектор x ∈ W разлагается по базису B и это разложение можно
сгруппировать в сумму x = y
1
+ ... + y
s
, где каждый из векторов y
i
принадлежит соответствующему W
i
.)
98       Линейные пространства. Базисы и размерности            Гл. 1

значением левой и правой частей (9.8), принадлежит пересечению
     cj , которое, по предположению, должно быть нулевым. Сле-
Wj ∩ W
довательно, yj = yj0 . Номер j в предыдущем рассуждении был про-
извольным, так что разложения (9.2) и (9.20 ) идентичны, что и тре-
бовалось. ¤
  Перейдем теперь к рассмотрению конечномерных пространств.
Пока нам достаточно будет предполагать, что конечномерным яв-
ляется подпространство W — сумма для семейства подпространств
{Wi }si=1 . Следующее предложение играет вспомогательную роль и
будет использовано при выводе второго критерия прямизны суммы.

  Предложение 9.2. Пусть W является конечномерным линей-
ным подпространством в линейном пространстве V и dim(W ) = n.
  1. Предположим, что базис B этого подпространства разбит в объ-
единение
                       B = [ B1 , B2 , ... , Bs ]            (9.9)
попарно не пересекающихся подсистем векторов, причем мощность
системы Bi равняется ni , где
                               s
                               X
                                     ni = n.                    (9.10)
                               i=1

     Рассмотрим линейные подпространства

              Wi = hBi i 6 W ; dim(Wi ) = ni ; i = 1, ..., s.   (9.11)

     Тогда
                                     s
                                     M
                              W =           Wi .                (9.12)
                                      i=1

  2. Обратно, предположим, что подпространство W разбито в пря-
мую сумму (9.12). Тогда в W существует базис вида (9.9), где систе-
мы векторов Bi попарно не пересекаются и каждая из них является
базисом в соответствующем Wi .
   Доказательство. 1. РассмотримPнекоторое разбиение (9.9) неко-
                                    s
торого базиса в W. Ясно, что W = i=1 Wi . (Действительно, всякий
вектор x ∈ W разлагается по базису B и это разложение можно
сгруппировать в сумму x = y1 + ... + ys , где каждый из векторов yi
принадлежит соответствующему Wi .)

Страницы