Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 99 стр.

§9            Прямые суммы и прямые дополнения                    99

   Убедимся в том, что W является прямой суммой. В силу пред-
ложения 9.1, для этого достаточно доказать, что для любого номера
                               cj тривиально. Но это так, посколь-
j = 1, ..., s пересечение Wj ∩ W
ку Wj состоит из тех и только тех векторов x ∈ W , у которых при
разложении по базису B могут быть ненулевыми лишь координаты,
отвечающие базисным векторам, входящим в Bj , а в подпространст-
   cj попадают лишь те векторы у которых все указанные коорди-
во W
наты равны нулю.
   2. Пусть теперь имеется прямая сумма конечномерных подпро-
странств (9.12). В каждом из слагаемых Wi выберем (произволь-
ный) базис Bi и затем все эти базисы объединим в с.в. (9.9). Соглас-
но замечанию 8.4, эта с.в. является порождающей для W. Остается
доказать ее линейную независимость.
   Предположим, что существует линейная комбинация для с.в. B,
значение которой равно нулю. Слагаемые в линейной комбинации
сгруппируем в соответствии с разбиением (9.9), а именно: сумму
всех слагаемых, отвечающих векторам из Bi , обозначим yi . Получим
равенство

             y1 + y2 + ... + ys = 0; yi ∈ Wi (i = 1, ..., s).   (9.13)

  По предположению сумма W является прямой, следовательно ну-
левой вектор может иметь представление вида (9.13) лишь со всеми
нулевыми yi .
  Вектор yi , по построению, является линейной комбинацией век-
торов базиса Bi , поэтому тот факт, что yi = 0, влечет обращение в
нуль всех коэффициентов этой линейной комбинации.
  Так обстоит дело при любом i = 1, ..., s. Значит, равны нулю вооб-
ще все коэфициенты исходной (имевшей нулевое значение) линейной
комбинации для с.в. B. Линейная независимость B доказана. ¤
   Замечание 9.3. Базис в прямой сумме подпространств, который
имеет блочную структуру (9.9), где каждая из подсистем (блоков)
является базисом в сооветствующем подпространстве-слагаемом Wi ,
мы будем в дальнейшем называть приспособленным к прямой сумме
(9.12) [или согласованным с этой суммой].
  Ниже доказывается второй критерий прямизны для суммы конеч-
номерных подпространств.
  Предложение 9.3. Предположим, что сумма (9.1) является ко-
нечномерным линейным подпространством в линейном пространст-