Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 9 Прямые суммы и прямые дополнения 97
есть сумма всех подпространств семейства, кроме j-го.
Замечание 9.2. При s > 2 свойство семейства линейных подпро-
странств быть независимым в совокупности сильнее, нежели свой-
ство попарной независимости. Чтобы убедиться в этом, достаточно
рассмотреть три попарно различных одномерных подпространства в
двумерном пространстве P
2
.
Предложение 9.1. Сумма (9.1) является прямой тогда и только
тогда, когда ее слагаемые независимы в совокупности.
Доказательство. 1. Пусть сумма (9.1) является прямой. Дока-
жем тривиальность любого пересечения (9.5). Для этого рассмотрим
произвольный элемент x ∈ W
j
∩
c
W
j
. Для этого элемента имеем два
представления, которые можно приравнять:
y
j
=
n
X
i=1
i6=j
y
i
; y
i
∈ W
i
(i = 1, ..., s). (9.7)
В левом представлении x все компоненты, кроме, может быть, j-й,
равны нулю. В правом представлении, наоборот, именно j-я компо-
нента обращается в нуль. Элемент x принадлежит cумме (9.1), в
силу прямизны которой, представление для него [вида (9.2)] опреде-
лено однозначно. Значит, все компоненты, как в левой, так и в пра-
вой частях (9.7), должны быть нулевыми, и, следовательно, x = 0.
2. Обратно, пусть подпространства W
i
независимы в совокупно-
сти. Рассмотрим произвольный элемент x ∈ W и докажем для него
единственность представления вида (9.2).
Если имеются два представления для x, (9.2) и аналогичное:
x =
s
X
i=1
y
0
i
, (9.2
0
)
то, приравнивая эти представления, а затем перенося в левую часть
равенства j-е компоненты разложений, а остальные собирая в пра-
вой, получим:
y
j
− y
0
j
=
n
X
i=1
i6=j
(y
0
i
− y
i
). (9.8)
Левая часть равенства (9.8) принадлежит подпространству W
j
,
а правая — сумме
c
W
j
. Значит, элемент z ∈ W, являющийся общим
§9           Прямые суммы и прямые дополнения                    97

есть сумма всех подпространств семейства, кроме j-го.
   Замечание 9.2. При s > 2 свойство семейства линейных подпро-
странств быть независимым в совокупности сильнее, нежели свой-
ство попарной независимости. Чтобы убедиться в этом, достаточно
рассмотреть три попарно различных одномерных подпространства в
двумерном пространстве P 2 .
  Предложение 9.1. Сумма (9.1) является прямой тогда и только
тогда, когда ее слагаемые независимы в совокупности.
  Доказательство. 1. Пусть сумма (9.1) является прямой. Дока-
жем тривиальность любого пересечения (9.5). Для этого рассмотрим
                              cj . Для этого элемента имеем два
произвольный элемент x ∈ Wj ∩ W
представления, которые можно приравнять:
                        n
                        X
                 yj =          yi ; yi ∈ Wi (i = 1, ..., s).   (9.7)
                        i=1
                        i6=j

  В левом представлении x все компоненты, кроме, может быть, j-й,
равны нулю. В правом представлении, наоборот, именно j-я компо-
нента обращается в нуль. Элемент x принадлежит cумме (9.1), в
силу прямизны которой, представление для него [вида (9.2)] опреде-
лено однозначно. Значит, все компоненты, как в левой, так и в пра-
вой частях (9.7), должны быть нулевыми, и, следовательно, x = 0.
  2. Обратно, пусть подпространства Wi независимы в совокупно-
сти. Рассмотрим произвольный элемент x ∈ W и докажем для него
единственность представления вида (9.2).
  Если имеются два представления для x, (9.2) и аналогичное:
                                       s
                                       X
                                 x=           yi0 ,            (9.20 )
                                       i=1

то, приравнивая эти представления, а затем перенося в левую часть
равенства j-е компоненты разложений, а остальные собирая в пра-
вой, получим:
                                n
                                X
                            0
                      yj − yj =   (yi0 − yi ).               (9.8)
                                       i=1
                                       i6=j

   Левая часть равенства (9.8) принадлежит подпространству Wj ,
а правая — сумме Wcj . Значит, элемент z ∈ W, являющийся общим

Страницы